热门试卷

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1）令f’(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1)>0，得x<-1或x>0.

所以：f(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递增，在(-1,0)上单调递减。

（2）f(x)=x(ex-1-ax),令g(x)= ex-1-ax,则g’(x)= ex-a.

若a≤1,则当x>0时g’(x)>0,g(x)为增函数，而g(0)=0,从而当x≥0时f(x)≥0；

若a>1,则当x∈(0,lna)时，g’(x)<0, g(x)为减函数，而g(0)=0,从而当x∈(0,lna)时，g(x)<0,即f(x)<0。

综上得a≤1.

（3）若f(x)无极值，则f(x)在R上单调。由f’(x)=（x+1）ex-1 -2ax，

若f(x)在R上单调递减，则f’(x)≤0，而利用不等式ex≥1+x，得f’(x)>0，与假设矛盾。

因此，f(x)在R上单调递增，即f’(x)≥0，显然f’(0)=0。

①当x>0时，2a≤,令.

下面证明h(x)在（-∞，0）上单调递增：

令r(x)=(x-1)ex+1,则r’(x)=xex.

当x>0时r’(x)>0,r(x)为增函数，r(x)>r(0)=0,h’(x)>0,h(x)在（0，+∞）上单调递增；

当x<0时r’(x)<0,r(x)为减函数，r(x)>r(0)=0,h’(x)>0,h(x)在（-∞，0）上单调递增；

当x>0时，由ex>1+x，得>1，从而g(x)=ex+h(x)>2，于是有2a≤g(x),

得：2a≤2，a≤1。

②当x<0时，2a≥g(x)，此时<1， 从而g(x)=ex+h(x)<2，于是

得：2a≥2，a≥1。

综上得：a=1时f(x)无极值。

试题分析：本题第（1）问属于用导数研究函数的性质的问题，是导数题目中的常见问题；第（2）问是用导数作为工具来解决不等式问题，题目综合性较强，难度较大。解答过程如下：

（Ⅰ） ，令，得，，

当时，，函数的在定义域单调递减；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增；

当时，在区间，，上，单调递减，

在区间，上，单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，函数在区间单调递减；

所以，当时，，，

问题等价于：对任意的，恒有：成立，即  ，因为，，所以，实数的取值范围是.