线面角和二面角的求法_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 点E,F分别是BC, 的中点.

19.求证:EF∥平面 ;

20.求证:平面平面.

21.求直线与平面所成角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明EF∥平面, 只需证明EF||BA1 且EF 平面

证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC, 的中点,所以EF||BA1 ,又因为EF 平面, 所以EF∥平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明 ,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面关系与面面关系的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

要证明平面平面,可证明,.

因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,BB1||AA1所以平面ABC,从而,又 ,所以平面 ,又因为平面,所以平面平面.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查空间面面位置关系,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面垂直于面面垂直的转化.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

取中点N,连接 ,则就是直线与平面所成角,Rt△ 中,由得直线与平面所成角为.

取中点M和中点N,连接,NE因为N和E分别为,BC中点,所以NE||BB1 ,,故NE||AA1 ,,所以A1N||AE ,,又因为平面,所以平面 ,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为BM||AA1，BM=AA1 ,所以A1M||AB,A1M=AB 又由,有 ,在Rt△ 中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.

考查方向

本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.

易错点

线面角定义的灵活运用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.

（I）证明：；

(II)若,求五棱锥的D′-ABCFE体积.

正确答案

（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.

解析

（Ⅰ）证再证（Ⅱ）证明再证平面最后呢五棱锥体积.

试题解析：（I）由已知得，

又由得，故

由此得，所以.

（II）由得

由得

所以

于是故

由（I）知，又，

所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五边形的面积

所以五棱锥体积

考查方向

空间中的线面关系判断及证明，几何体的体积.

解题思路

（Ⅰ）先证再证（Ⅱ）根据勾股定理证明是直角三角形，从而得到进而有，证明平面根据四边形的面积EFAC加上三角形ABC的面积求得五边形的面积，最后由椎体的体积公式求五棱锥体积.

易错点

第一问证那两条线垂直。立体几何中的折叠问题，应注意折叠前后线段的长度、垂直关系哪些变了，哪些没变.

知识点

线面角和二面角的求法

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,，，则m，n所成角的正弦值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

直线与直线平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分.

22.【选修4—1】几何证明选讲（请回答27、28题）

如图，在中，，，交于点，若满足．

23.【选修4—4】极坐标与参数方程（请回答29、30题）

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为：，：（为参数）.

24.【选修4—5】不等式选讲（请回答31、32题）

已知

27.求证：；

28.求线段的长度和EC的长度．

29.化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

30.若上的点对应的参数为，为上的动点，求线段的中点到直线距离的最小值.

31.求不等式的解集；

32.设为正实数，且，求证：。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明：由已知，所以在以为直径的圆上，由割线定理知：，所以满足。

解析

（Ⅰ）证明：由已知，所以在以为直径的圆上，由割线定理知：，所以满足。

考查方向

本题主要考查了切割线定理。

解题思路

由割线定理求解。

易错点

不会利用切割线定理来解答。。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

和EC=4.

解析

（Ⅱ）解：如图，过点作于点，由已知，又因为，所以四点共圆，所以由割线定理知: ，①

同理四点共圆，由割线定理知：②

①+②得

即

所以，由（1）可知，所以满足,即EC=4.

考查方向

本题主要考查了割线定理的使用。

解题思路

由割线定理求解。

易错点

不记得定理。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），

为圆心是，半径是的圆.

为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆.

解析

（Ⅰ），

为圆心是，半径是的圆.

为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆.

考查方向

本题主要考查了极坐标转化为直角坐标，参数方程化为普通方程。

解题思路

参数方程化为普通方程。

易错点

极坐标转不会化为直角坐标，参数方程不会转化为普通方程。

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅱ）当时，，

设则，

为直线，

到的距离

从而当时，取得最小值

考查方向

本题主要考查了参数方程的应用。

解题思路

极坐标方程化为直角坐标中的方程再利用点到直线的距离公式再结合三角函数即可。

易错点

不知道参数的几何意义。

第(5)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅰ）解：不等式等价于不等式组

或或

所以不等式的解集为

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的解法。

解题思路

去掉绝对值分类讨论求解。

易错点

不会去掉绝对值。

第(6)小题正确答案及相关解析

正确答案

因为，所以

因为为正实数，所以由基本不等式得（当且仅当时取等号）

同理：；，所以

所以

解析

证明：因为，所以

因为为正实数，所以由基本不等式得（当且仅当时取等号）

同理：；，所以

所以

考查方向

本题主要考查了不等式的证明。

解题思路

利用基本不等式来解决．

易错点

不会利用基本不等式处理。。

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图所示的几何体是由以正为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面所截而得，，，，，为的中点．

20.求证：直线//平面；

21.求直线与平面所成的角的正弦值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（1）证：取DE的中点G，连结GF.由三棱柱得，AF//BD//CE，

∵OG为梯形CBDE的中位线 ∴OG//CE，且OG=2

而CE//AF，且AF=2 ∴OGAF

∴四边形OAFG为平行四边形 ∴GF//OA

又OA平面DEF，GF平面DEF ∴ OA//平面DEF

考查方向

本题考察了直线和平面平行的判定定理，考察了面与面之间的位置关系，考察了直线与平面之间的夹角以及求法

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

取DE的中点G，连结GF.由三棱柱得，AF//BD//CE，得到OG为梯形CBDE的中位线，证明得到四边形OAFG为平行四边形，利用线面平行的判断得到结论

易错点

本题容易在辅助线建立过程出错，空间直角坐标系建立及其坐标表示出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（2）∵,,∴

又,∴

在面BCED中，过C作,连CH，则

∴为直线FC和面DEF所成角。

在ΔCFH中，,,,

∴直线FC和面DEF所成角的正弦值为。

注：解法2可用等积法；解法3可用空间直角坐标系

考查方向

本题考察了直线和平面平行的判定定理，考察了面与面之间的位置关系，考察了直线与平面之间的夹角以及求法

解题思路

该题解题关键在于找到所求内容的突破点

通过在面BCED中，过C作,连CH，则，做辅助线得到为直线FC和面DEF所成角，利用边长关系得到直线FC和面DEF所成角的正弦值

易错点

本题容易在辅助线建立过程出错，空间直角坐标系建立及其坐标表示出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，在四棱锥中，底面是一直角梯形，，//，，底面，与底面成角，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

解：

解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系，由已知可得：余弦

A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，1，0）,

D（0，2，0）， P（0，0，2）， E（0，1，1），

（2），

,

由

得

令y=1，则n=(1,1,1),

所以，所求二面角的余弦值为.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．在长方体中，．若分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

如图，过作联结，则即为所求的角

为直角三角形，设则，，所以

，

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．关于正四棱锥,给出下列命题:

①异面直线所成的角为直角；

②侧面为锐角三角形；

③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角；

④相邻两侧面所成的二面角为钝角；

其中正确的命题序号是___________。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

命题的真假判断与应用棱锥的结构特征异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．（1）若 =λ（λ∈R），且PA∥平面，求λ的值；（2）求证：平面；(3)求直线PB与平面ABCD所成的角．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）连接交于点，连接.

因为平面，平面平面，

所以.

因为，所以.

所以.

（2）因为

所以.

又平面平面，且平面平面,

平面．

（3）由（2）知，平面

∴　∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，

在RtΔPEB中，

，

60°，

直线PB与平面ABCD所成的角为60°．

考查方向

本题考查了立体几何中的线面位置关系的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何中的线面位置关系，解题步骤如下：1、利用线面平行的性质定理。2、利用线面垂直的定义及判定定理转化。

易错点

1、第一问中的线线平行的判定。2、第二问中求证线面垂直时要与平面内的两条相交直线垂直。

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 13 分

正确答案

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

易错点

正确答案

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考查方向

易错点

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考查方向

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点