- 圆与方程
- 共4684题
设A（xA，yA），B（xB，yB）为平面直角坐标系上的两点，其中xA，yA，BxB，yB∈Z．令△x=xB-xA，△y=yB-yA，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．
（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；
（Ⅲ）已知P0（x0，y0）（x0∈Z，Y0∈Z）为一个定点，点列{Pi}满足：Pi=i（Pi-1），其中i=1，2，3，…，n，求|P0Pn|的最小值．
正确答案
（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，
故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，
分别为：（1，2）、（1，-2）、（-1，2）、（-1，-2）、（2，1）、（2，-1）、
（-2，1）、（-2，-1）．…（1分）
又因为 （△x）2+（△y）2=5，即(xi-0)2+(yi-0)2=5，
所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以
（II）设M（xM，yM），因为M=i（H），L=i（M），
所以有|xM-9|+|yM-3|=3，|xM-5|+|yM-3|=3，…（5分）
所以|xM-9|=|xM-5|，所以xM=7，故yM=2 或 yM=4，
所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）
（III）当n=2k，且 k∈N* 时，|P0Pn|的最小值为0．例如：P0（x0，y0 ），
P1 （x0+1，y0 ），P2（（x0，y0 ），显然，P0=i（P1），P1=i（P2），此时，|P0P2|=0．…（8分）
当n=1时，可知，|P0Pn|的最小值为 
当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P3（x0，y0+1）：
由P0（x0，y0 ），依次找出“相关点”分别为P1（x0+2，y0+1），P2（x0+1，y0+3），P3（x0，y0+1）．
此时，|P0P3|=1，故|P0Pn|的最小值为1．…（11分）
然后经过3次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0Pn|的最小值为1．
当n=2k+1，k＞1，k∈N* 时，经过2k次变换回到初始点P0（x0，y0 ），
故经过2k+1次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0Pn|的最小值为1．
综上，当 n=1 时，|P0Pn|的最小值为
当当n=2k，k∈N* 时，|P0Pn|的最小值为0，
当n=2k+1，k∈N* 时，|P0Pn|的最小值为1． …（13分）
若点（x，y）满足（x-3）2+（y-3）2=2，则
正确答案
∵点（x，y）满足（x-3）2+（y-3）2=2，
∴点（x，y）的轨迹是以C（3，3）为圆心，
∵
∴
故答案为：4
过点（0，6）且与圆c1：x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆c2，设圆c1的圆心为点o1，圆c2的圆心为o2
（1）把圆c1：x2+y2+10x+10y=0化为圆的标准方程；
（2）求圆c2的标准方程；
（3）点o2到圆c1上的最大的距离．
正确答案
（1）方程x2+y2+10x+10y=0可化为（x+5）2+（y+5）2=50
（2）设圆c2的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2
∵圆c1与圆c2相切于点o∴点o1、o、o2三点共线
∴点o1、o、o2三点共线的斜率k=
∴设点o2的坐标为（a，a），即a=b
∴点（0，6）、点（0，0）在圆c2上
∴（0-a）2+（6-a）2=r2
（0-a）2+（0-a）2=r2
∴a=b=3，r=3
∴圆c2：（x-3）2+（y-3）2=18
（3）设点P（x0，y0）是点o2到圆c1上最大的距离的点，
则点P在点o、o2所在直线y=x上
解得
∴点P（-10，-10）∴|po2|=
已知A（-2，0），B（2，0），点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是______．
正确答案
∵点A（-2，0），B（2，0），
设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8，
由点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上运动，
（a-3）2+（b-4）2=4
令a=3+2cosα，b=4+2sinα，
所以|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+8
=2（3+2cosα）2+2（4+2sinα）2+8
=66+24cosα+32sinα
=66+40sin（α+φ），（tanφ=
所以|PA|2+|PB|2≥26．当且仅当sin（α+φ）=-1时，取得最小值．
∴|PA|2+|PB|2的最小值为26．
故答案为：26．
已知圆E经过点A（2，-3）、B（-2，-5），且圆心在直线x-2y-3=0上．
（1）求圆E的方程；
（2）若直线x+y+m=0与圆E交于P、Q两点，且 EP⊥EQ，求m的值．
正确答案
（1）∵圆心E在直线x-2y-3=0，可设圆心E（2b+3，b ）．
由|EA|=|EB|可得 
平方化简可得 5b2+10b+10=5b2+30b+30，
解得 b=-2，故点E（-1，-2）．
由两点间距离公式得r2 =|EA|2=10，
所以，圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．
（2）由题意可得△EPQ为等腰直角三角形，EP=EQ=r=
设圆心到直线PQ的距离为d，可得 d=
再由点E（-1，-2），PQ的方程为x+y+m=0，故有 
解得m=3±
已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
正确答案
已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求x2+y2的取值范围．
正确答案
（1）根据题意设出圆心C坐标为（a，a），半径r=|a|，
∴圆心C到直线y=-x的距离d=
若圆x2+y2=4上存在与点（2a，a+3）距离为1的点，则a的取值范围为______．
正确答案
由题意得，点（2a，a+3）到圆心（0，0）的距离大于或等于1小于或等于3，
即 1≤
∴9≥5a2+6a≥-8，解得-
故答案为[-
光线从A（1，0）出发经y轴反射后到达x2+y2-6x-6y+17=0所走过的最短路程为______．
正确答案
找出A（1，0）关于直线x=0对称点 M（-1，0）
光线与y轴交点为P，所以有|PA|=|PM|，
最短路程等于M到原心的距离减去半径．
由x2+y2-6x-6y+17=0，得（x-3）2+（y-3）2=1．
所以圆的半径为2，圆心为C（3，3）
MC的距离为
所以最短路程为5-1=4．
故答案为4．
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）证明：圆C是以线段AB为直径的圆；
（2）当圆心C到直线x-2y=0的距离的最小值为
正确答案
（1）证明：因为OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故圆C是以线段AB为直径的圆；
（2）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=
∴y1y2=-4p2
∴x=
=
=
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则d=
∴当y=p时，d有最小值
∴
∴p=5．
以点（-3，4）为圆心且与直线x+y=5相切的圆的标准方程是 ______．
正确答案
由圆心到直线的距离r=
所以圆的方程为（x+3）2+（y-4）2=8．
故答案为（x+3）2+（y-4）2=8．
已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线
正确答案
把圆M的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-2）2=4，
得到圆心M的坐标为（1，2），
由直线的参数方程化为普通方程得：3x-4y-5=0，
则圆心M到直线的距离d=
故答案为：2
已知直线5x-12y+a=0与圆x2-2x+y2=0相切，则a的值为______．
正确答案
圆的方程可化为（x-1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，
由已知可得
所以a的值为-18或8．
故答案为：-18；8
已知圆C（x-a）2+（y-b）2=8（ab＞0）过坐标原点，则圆心C到直线l：
正确答案
∵圆C（x-a）2+（y-b）2=8（ab＞0）过坐标原点，
∴a2+b2=8≥2ab
∴ab≤4
又∵圆心C（a，b）到直线l：
d=
故圆心C到直线l：
故答案为：
正方形ABCD的中心为（3，0），AB所在直线的方程为x-2y+2=0，则正方形ABCD的外接圆的方程为______．
正确答案
由题意，正方形ABCD的外接圆的圆心为（3，0），
∵（3，0）到直线AB的距离为
∴圆的半径为
∴正方形ABCD的外接圆的方程为（x-3）2+y2=10
故答案为：（x-3）2+y2=10．
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