热门试卷

证明：连接MK并延长交AB于C点，

则△ACM∽△ACK，∴∠MAC=∠AKC，

同理∠MBC=∠BKC，

∵∠MAB+∠ABM+∠AMB=180°，

∴∠AKC+∠BKC+∠AMB=180°，

∵∠AKC+∠BKC=∠AKB，

∴∠AMB+∠AKB=180°．

（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）

因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，

又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，

所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）

连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）

所以，所以BC=2．（10分）

（Ⅰ）证明：连结OA，

∵⊙O的直径为15，∴OA=OB=7.5

又PA=10，PB=5，∴PO=12.5…（2分）

在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25

即PO2=PA2+OA2，∴PA⊥OA，

又点A在⊙O上

故PA与⊙O相切…（5分）

（Ⅱ）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB，

又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴…（7分）

设AB=k，AC=2k，∵BC为⊙O的直径且BC=15，AB⊥AC

∴，

∴

∴…（10分）

解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，

∴BC2=BD•BE，

∵tan∠CED=，∴．

∵△BCD∽△BEC，∴，

设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），

解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．

证明：连接OE，∵PE切⊙O于点E，∴∠OEP=90°，∴∠OEB+∠BEP=90°，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，

∵OB⊥AC于点O，∴∠OBE+∠BDO=90°．

故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，

又∵PE切⊙O于点E，∴PE2=PA•PC，

PD2=PA•PC．

证明：（1）直线BD和⊙O相切（1分）

∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB（2分）

∵OD⊥BC

∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）

∴∠DBC+∠ABC=90°

∴∠DBO=90°（4分）

∴直线BD和⊙O相切．（5分）

（2）连接AC

∵AB是直径

∴∠ACB=90°（6分）

在Rt△ABC中，AB=10，BC=8

∴

∵直径AB=10

∴OB=5．（7分）

由（1），BD和⊙O相切

∴∠OBD=90°（8分）

∴∠ACB=∠OBD=90°

由（1）得∠ABC=∠ODB，

∴△ABC∽△ODB（9分）

∴

∴，解得BD=．（10分）

解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，

∴∠BAC=90°，AB2=BM•BN．

∵BM=MN=NC=1，∴2BM2=AB2，

∴AB=．

在Rt△BAC中，可得AB2+AC2=BC2，

∴2+AC2=9，AC=．

∵CN•CM=CD•CA，

∴2=CD•，∴CD=．

∴⊙O的半径为（CA-CD）=．

证明：由O是△BCI的外心，知∠BOI=2∠BCI=∠BCA．同理，∠COI=∠CBA．

则∠BOC=∠BOI+∠COI=∠BCA+∠CBA=180°-∠BAC．

于是，A，B，O，C 四点共圆．

由OB=OC，知∠BAO=∠CAO．

因为AD=AE，AO=AO，

所以，△OAD≌△OAE．因此，∠ODA=∠OEA．

故∠ODB=∠OEC．