热门试卷

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x2+y2﹣20）+（﹣4x+2y+20）a=0．

由，

解得

∴点（4，﹣2）满足C的方程，

故曲线C过定点（4，﹣2）．

（2）证明：原方程配方得（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，

∵a≠2，

∴5（a﹣2）2＞0

∴C的方程表示圆心是（2a，﹣a），半径是|a﹣2|的圆

设圆心坐标为（x，y），则有，

消去a可得y=﹣x，

故圆心必在直线y=﹣x上．

（3）解：由题意得5|a﹣2|=|a|，解得a=．

解：（1）设（）为定值，

所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距，

因为

又，

所以，由题意得，

所以C点轨迹G的方程为；

（2）由题意知，|m|≥1；

当m=1时，切线l的方程为x=1，点M，N的坐标分别为，

此时|MN|=；

当m=-1时，同理可知|MN|=，

当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），

由得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0，

设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

又由l与圆x2+y2=1相切，得=1，即m2k2=k2+1，

所以

=

由于当m=±1时，|MN|=，所以|MN|=，m∈（-∞，-1 ]∪[1，+∞），

因为|MN|=≤2，且当m=±时，|MN|=2，

所以|MN|的最大值为2。

解：（1）设椭圆C的方程为

∵长轴长是短轴长的倍，

∴椭圆方程为

∵在椭圆C上

∴

∴

∴椭圆C的方程为

。

（2）当切线l的斜率不存在时切线方程为

与椭圆的两个交点为

此时

当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m

解方程组

得

即

则

即

∴

∵l与圆相切

∴

∴

∴

综上所述为定值。

解：（Ⅰ）由，得

故圆C的圆心为点

从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，

由题设知

故椭圆Ｅ的方程为：

（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为

则的方程分别为且

由与圆相切，得 ，

即

同理可得  

从而是方程的两个实根，

于是       ①

且

由得

解得或

由得

由得

它们满足①式，故点P的坐标为，或，或，或。

解：（1）设A1（x，y），A（m，n）

则m2+n2=4（*）

由于，且AH⊥x轴，

所以代入（*），得x2+4y2=4，

即为所求点A1的轨迹C的方程。

（2）设P（x，y），A1（x1，y1），B1（x2，y2），则

，

从而A（x1，2y1），B（x2，2y2），

由于，

所以

进而有x1x2+4y1y2=0 ③

根据可得（x-x1，y-y1）+2（x2-x，y2-y）=（0，0），

即

由④2+4×⑤2，并结合①②③，

得

=4×4+4-4×0=20

所以动点P的轨迹D的方程为x2+4y2=20。

（3）由于线段AB是圆x2+y2=4的长度为2的定长弦，

所以直线AB始终与圆x2+y2=2相切，

令切点为T，则根据几何意义可知点M到直线AB的距离总是满足d≤|MO|+|OT|=|MO|+

因此点M到直线AB的最大距离是，并且当直线AB的方程是时，点M的坐标是，当直线AB的方程是时，点M的坐标是。

解：（1），得

椭圆方程为；

（2）设B，过圆心O′作于D，交长轴于H

由得

即 ①

又B在椭圆上

 ②

由①、②式得

解得或（舍去）；

（3）直线EF与圆Ｏ′的相切

设过点与圆相切的直线方程为：　③

则

即

解得

将③代入得

则异于零的解为

设，

则

则直线EF的方程为

即

则圆心到直线FE的距离

故结论成立。

解：（1）①∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，

∴b=c，

∴b2=a2-c2=c2，

∴a2=2c2，

∴；

②由∠APB=90°及圆的性质，知四边形OBPA为正方形，可得

∴|OP|2=2b2≤a2，

∴a2≤2c2∴，。

（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则切线PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2∴x1x+y1y=x2x+y2y，

∴

直线AB方程为：

即x0x+y0y=b2令x=0，得

令y=0得

∴

∴为定值，定值是。

解：(1)设F、B、C的坐标分别为(-c，0)，(0，b)，(1，0)，

则FC、BC的中垂线分别为，

联立方程组，解得，

m+n=＞0，即b-bc+b2-c＞0，

即(1+b)(b-c)＞0，

∴b＞c，从而b2＞c2，即有a2＞2c2，∴e2＜，

又e＞0，

∴0＜e＜；

(2)直线AB与⊙P不能相切．

由kAB=b，kPB=，

如果直线AB与⊙P相切，则b·=-1，

解得c=0或2，与0＜c＜1矛盾，

∴直线AB不能与⊙P相切．