- 圆与方程
- 共4684题
如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
正确答案
证明：（1）因为
又因为
在
（2）证明：因为
又
又
故
如图，已知圆上的弧
证明： (Ⅰ)∠ACE=∠BCD；
(Ⅱ)BC2=BE·CD。
正确答案
证明：(Ⅰ)因为
所以∠BCD=∠ABC，
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC，
所以∠ACE=∠BCD．
(Ⅱ)因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，
故
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
(Ⅰ)求证：DE是⊙O的切线；
(Ⅱ)若
正确答案
(Ⅰ)证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又OD为半径，
∴DE是⊙O的切线。
(Ⅱ)解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，AD2=80x2，
由△AED∽△ADB，可得AD2=AE·AB=AE·10x，
∴AE=8x，
又由△AEF∽△DOF，
可得AF：DF=AE：OD=
∴
如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB=CE。
正确答案
证明：如图，连接BE，
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，
所以∠AEB=90°，即BE⊥AD，
又因为AD⊥l，所以BE∥l，
所以∠DCE=∠CEB，
因为直线l是圆O的切线，
所以∠DCE=∠CBE，
所以∠CBE=∠CEB，
所以CE=CB。
如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，求证：DC是⊙O的切线．
正确答案
证明：连接OC，则∠OAC=∠OCA，
又因为CA平分∠BAF，
所以∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，
所以OC∥AD，
又因为CD⊥AF，
所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切线。
已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则圆O的面积为（ ）。
正确答案
4π
如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为（ ）。
正确答案
如图，已知圆上的弧
（1）∠ACE =∠BCD；
（2）BC2=BE×CD。
正确答案
解：（1）因为
所以∠BCD=∠ABC
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC
∴∠ACE=∠BCD；
（2）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC∽△ECB
故
即BC2=BE×CD。
如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵AB=AC，AF=AE
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CD=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上．
（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
∴∠DHF=90°，
∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O与AC相切于点F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴点C是线段GD的中点．
如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C．若DA=DC，求证：AB=2BC。
正确答案
证明：连结OD、BD，因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB=90°，
AB=2OB，因为DC是圆O的切线，
所以∠CDO=90°，
又因为DA=DC，所以∠A=∠C，
于是△ADB≌△CDO，
从而AB=CO，
即2OB=OB+BC，得OB=BC，故AB=2BC。
圆O是三角形ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2
正确答案
如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP=（ ）
正确答案
6.25
如图：点P是
则PC=（ ）。
正确答案
如图， AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=2
正确答案
（选做题）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA，若AD=m，AC=n，则AB=（ ）。
正确答案
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