热门试卷

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EF所在直线为，

当E与D重合，得k=-1；

当F与B重合，得；

（1）当E在OD上，F在BC上，即时，

，

则；

（2）E在OD上，F在OB上，得，

则；

（3）E在DC上，F在OB上，即，

则；

综上所述，得。

解：(Ⅰ)切线l：，即，

代入化简并整理，得

，（*）

由，

得m=0或，

若m=0，代入（*）式，得，与已知矛盾；

若，代入（*）式，得满足条件，

且，

综上，，点N的坐标为。

(Ⅱ)因为，

若，则，即t=2，此时m=9，

故当实数m=9时，，

此时，，

易得，

此时，MN所在直线的方程为y=4x-5。

解：（Ⅰ），

当x∈和x∈时，f′（x）＜0；

当x∈和x∈时，f′（x）＞0；

因此，f（x）在区间和是减函数，

f（x）在区间和是增函数。

（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，f（x0）），

由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，

因此，f（x0）=x0f′（x0），

即：x04-3x02+6-x0（4x03-6x0）=0，

整理得（x02+1）（x02-2）=0，解得或，

因此切线l的方程为或。

解：（1）当1﹣2t＞0即0＜t＜时，0＜t＜时，点Q在第一象限，如图（1），

直线RQ的方程为y=t（x+2t）+2，它与y轴的交点T（0，2+2t2），

故△ORT的面积S=×2t×（2+2t2）=2t×（1+t2）

可得矩形在第一象限内的部分面积为S（t）=2+2t2﹣2t×（1+t2）=2[1﹣t×（1+t+t2）]

当﹣2t+1≤0，即t≥时，如图（2），点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPT的面积，

直线PQ的方程为y=﹣+t+，

令x=0得y=t+，故点T的坐标为（0，t+），

故S（t）=S△OPT==

综上知S（t）=

（2）S（t）在区间（0，）与（，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，证明如下

下用导数法证明：由于S'（t）=

验证知当在区间（0，）与（，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0

故得S（t）在区间（0，）与（，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数

解：(Ⅰ)，

当x∈和x∈时，f′(x)＜0；

当x∈和x∈时，f′(x)＞0；

因此，f(x)在区间和是减函数，

f(x)在区间和是增函数。

(Ⅱ)设点P的坐标为(x0，f(x0))，

由l过原点知，l的方程为y=f′(x0)x，

因此，f(x0)=x0f′(x0)，

即：x04-3x02+6-x0（4x03-6x0）=0，

整理得(x02+1)(x02-2)=0，解得或，

因此切线l的方程为或。

解：(Ⅰ)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．   

∴|PQ|=|QF|．

故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：．

（Ⅱ）设，两切点为，

由得，求导得．

∴两条切线方程为 ①  

②   

对于方程①，代入点M(m,-p)得，，

又∴

整理得：

同理对方程②有即x1,x2为方程的两根

.∴ ③   

设直线AB的斜率为k，

所以直线AB的方程为，

展开得：，

代入③得：

∴直线恒过定点(0.p).   

(Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设（0.p）， ， 且有，

   ∴               

∴

=                                                  

又∵，

所以即直线MA,MF,MB的斜率倒数成等差数列.    

解：（Ⅰ）y′=2x+1，

直线l1的方程为y=3x-3，

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B（b，b2+b-2），

则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2，

因为l1⊥l2，则有2b+1=，

所以直线l2的方程为。

（Ⅱ）解方程组，得，

所以直线l1和l2的交点的坐标为，

l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、，

所以所求三角形的面积。