直线的方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率。

（1）求椭圆E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。

正确答案

解：（1）设椭圆E的方程为

由，得

，b2=a2-c2=3c2

∴

将A（2，3）代入，有

解得c=2

∴椭圆E的方程为。

（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），

所以直线AF1的方程为

即3x-4y+6=0

直线AF2的方程为x=2

由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数

设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，

则有

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去

于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0

所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），点在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F2为焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点F2，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点，

①若F1B⊥F2B，求|AF2|-|BF2|的值；

②试探究：线段AB与F2D的长度能否相等？如果|AB|=|F2D|，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）由题意，设椭圆C的方程为：

∴=4

∴a=2

又c=1

∴

故椭圆C的方程为：。

（2）由题意可得，抛物线E：y2=4x，

设l：y=k（x-1）（k≠0），

联立方程组

消去y得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0，

Δ=16（k2+1）>0恒成立

设A（x1，y1），B（x2，y2），

，x1·x2=1

①∵

又，

∴

∴x1-x2=4，

|AF2|-|BF2|=x1-x2=4。

②假设|AB|=|F2D|

因为直线l过点F2，

所以

又D（0，-k），F2（1，0）

∴

由|AB|=|F2D|

∴

∴k4-16k2-16=0，

所以（负值舍去），

从而，

所以当l的方程为时有|AB|=|F2D|。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率，且经过点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F2，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）设椭圆C的方程为（其中a>b>0），

由题意知，且

解得a2=4，b2=2，c2=2，

所以椭圆C的方程为。

（2）由于|F1A|，|AB|，|BF1|依次成等差数列，

则|F1A|+|BF1|=2|AB|，

而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8，

所以|AB|=

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=

代入椭圆C的方程

化简，得

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则

又

解得k=±1；

当直线l的斜率不存在时，，代入椭圆方程，得y=±1，

∴|AB|=2，不合题意，

所以，直线l的方程为。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆的离心率，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，过椭圆右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．

（1）求椭圆标准方程；

（2）设点M(1,0)，且⊥，求直线l方程．

正确答案

解：（1）抛物线焦点为（2，0）

椭圆方程为：

（2）设

与联立得

设 AB中点

∴

∵

∴所求的直线为：

1

题型：简答题

|

简答题

椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．

正确答案

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为，

由e=，得，

∴，

将A（2，3）代入，有，解得c=2，

∴椭圆E的方程为。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2，0)，F2(2，0)，所以直线AF1的方程为，即3x-4y+6=0，

直线AF2的方程为x=2，

由椭圆E的图形知，

∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，

设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，

则有，

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去；

于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0；

所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0．

1

题型：简答题

|

简答题

若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

正确答案

解：（1）由题意知，c+ =3（c﹣ ），

∴b=c，

∴a2=2b2，

∴e= = = ．

（2）设直线l：x=ky﹣x，A（x1，y1），B（x2，y2），

∵ ，

∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①

由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，

由，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，

∴ ，…②

，…③

由①②知，，，

∵ = ，

∴S=3 =3≤3 = ，

当且仅当|k|2=2，即k= 时取等号，

此时直线的方程为x= 或x= ．

又当|k|2=2时， =﹣ =﹣1，

∴由，得b2= ，

∴椭圆方程为．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，已知椭圆（a> b>0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B。

（1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e 的取值范围；

（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：为定值。

正确答案

解：（1）①∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2，

∴b=c，

∴b2=a2-c2=c2，

∴a2=2c2，

∴；

②由∠APB=90°及圆的性质，知四边形OBPA为正方形，可得

∴|OP|2=2b2≤a2，

∴a2≤2c2∴，。

（2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则切线PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2∴x1x+y1y=x2x+y2y，

∴

直线AB方程为：

即x0x+y0y=b2令x=0，得

令y=0得

∴

∴为定值，定值是。

1

题型：填空题

|

填空题

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

正确答案

x+2y﹣8=0

1

题型：简答题

|

简答题

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明。

正确答案

解：（1）由题意，可设椭圆的方程为。

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率。

（2）由（1）可得A（3，0）。

设直线PQ的方程为。

由方程组得

依题意，得。

设，则， ①

②

由直线PQ的方程得。

于是。③

∵，∴。④

由①②③④得，从而。

所以直线PQ的方程为或。

（3）证明：

由已知得方程组

注意，解得

因，

故。

而，

所以。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，，解得．

即椭圆方程为

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，

设直线 AB的方程为：y=k（x+1），

代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

所以．

原点到直线的AB距离，

所以三角形的面积．

由可得k2=2，∴，

所以直线或．

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案