热门试卷

解：（1）因M（x，y），N（﹣4，y），满足，

所以﹣4x+y2=0，

即：y2=4x，即为动点M的轨迹C的方程．

（2）由题意得AB与x轴垂直，A（x1，y1），B（x2，y2），

由题设条件A、B两点在抛物线上．y12=4x1，y22=4x2两式相减得：y12﹣y22=4x1﹣4x2由中点坐标公式得y1+y2=﹣2，

∴k=，

所以直线方程为y=﹣2x+1．

解：（1）由题意可设所求直线l的方程为y=kx-2，所求抛物线的方程为，由，消去y得：，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴

∵，

∴，

解得，

故直线l的方程为y=2x-2，

抛物线的方程为x2=-2y；

（2）据题意，当抛物线过点P的切线m与直线l平行时，△ABP的面积最大，

此时切线m的方程为y=2x+b，由消去y，整理得：，

∵，

∴b=2，

m的方程为y=2x+2，即y=2x+2，

此时点P到直线l的距离为，

由消去y得：

故，

所以△ABP的最大面积为=；

（3）在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点，

假设在抛物线C存在相异两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，

则直线AB的方程为

由，消去y得：，，

于是可得AB的中点M的坐标为（），又点M在直线l上，所以，即，AB的方程为，而此时△=7>0，即直线AB与抛物线C有两个相异公共点，

综上所述，在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点。

解：（1）M，N的极坐标分别为（2，0），（），

所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），

P为线段MN的中点（1，），

直线OP的平面直角坐标方程y=；

（2）圆C的参数方程（θ为参数）

它的直角坐标方程为：（x-2）2+（y+）2=4，

圆的圆心坐标为（2，-），半径为2，

圆心到直线的距离为：=＞2，

所以，直线l与圆C相离。

解：（Ⅰ）由y=4t得y2=16t2，而x=4t2，

∴y2=4x，它表示抛物线；

（Ⅱ）设直线AB和CD的倾斜角分别为α，β，

则直线AB和CD的参数方程分别为，

把①代入y2=4x中，

得t2sin2α+（4sinα-4cosα）t-4=0，③

依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16（sinα-cosα）2+16sin2α＞0，

∴方程③有两个不相等的实数解t1，t2，

则

由t的几何意义知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，

∴|PA|·|PB|=|t1t2|=，

同理|PC|·|PD|=，

由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知，即sin2α=sin2β，

∵0≤α，β＜π，

∴α=π-β，

∵AB⊥CD，

∴β=α+90°或α=β+90°，

∴直线AB的倾斜角

∴kAB=1或kAB=-1，

故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。

解：（Ⅰ）以C为原点，L所在的直线为X轴，

如图所示建立直角坐标系，则B（﹣6，9）．   

  设抛物线的方程为y=ax2，

把点B（﹣6，9）代入y=ax2得，

故抛物线方程为．

设，

根据直线DE与L的夹角是45．

得直线L的斜率为1，

由，

∴，∴x0=2，

故D点的坐标是（2，1）．

（Ⅱ）设所求圆的圆心为H．

过D与L垂直的直线方程是l1：y=﹣x+3，

BD的中点坐标是（﹣2，5），kBD=﹣1，

故BD中垂线方程是y=x+7，

由  ．

∴H（﹣2，5）．

∵B（﹣6，9）∈l1，∴BD是直径．

∵．

∴．

∵圆心H到L的距离为d=5，，

故圆弧与地平线L相离．

解：（1）依题意，设AB所在直线方程为y=kx+m，抛物线方程为x2=2py（p>0），

且A（x1，y1），B（x2，y2），

由题设知x1>0，x2＜0，

∴|x1|-|x2|=4k，即x1+x2=4k，

由消去y并整理，得x2-2pkx-2pm=0，

∴x1+x2=2pk=4k，

∴p=2

故所求抛物线方程为x2=4y。

（2）由（1）得，求导数得

设

则过抛物线上C，D两点的切线方程分别为

即

联立上述两个方程，得

∴两条切线的交点M的坐标为

设CD所在直线方程为y=nx+1，代入x2=4y，得x2-4nx-4 =0

∴x3x4=-4，

∴M的坐标为

故点M的轨迹方程为y=-1

又∵

∴

而

∴。