热门试卷

解：法一：

（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC

∵NC⊂平面ONC，

∴OA⊥NC．

取Q为AN的中点，则PQ∥NC．

∴PQ⊥OA

在等腰△AOB中，∠AOB=120°，

∴∠OAB=∠OBA=30°

在Rt△AON中，∠OAN=30°，

∴

在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，

∴NB=ON=AQ．

∴

解：（Ⅱ）连接PN，PO，

由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．

又ON⊂平面OAB，

∴OC⊥ON

又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．

∴OP是NP在平面AOC内的射影．

在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，

∴AC⊥OP

根据三垂线定理，知：

∴AC⊥NP

∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角

在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴

在Rt△AON中，，

∴在Rt△PON中，．

∴

解法二：

（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，

建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）

则

∵P为AC中点，∴

设，∵．

∴，

∴．

∵，

∴即，．

所以存在点使得PQ⊥OA且．

（Ⅱ）记平面ABC的法向量为=（n1，n2，n3），则由，，且，

得，故可取

又平面OAC的法向量为=（0，1，0）．

∴cos＜，＞=．

两面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则