热门试卷

解：（1）如图所示，取A1A4的三等分点p2，p3，A1A3的中点M，A2A4，的中点N，

过三点A2，P2，M，作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，

因为A2P2∥NP3，A3P3∥MP2，所以平面α2∥α3，

再过点A1，A4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，

那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，

由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其

中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．

（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，

则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体．

设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，

则A1（0，0，a），A2（-，a，0），A3（，a，0），A4（0，-a，0）．

令P2，P3为．A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有P3（0，a，a），N（-，-a，0），

所以=（-，a，-a），=（a，a，0），=（-，a，0）

设平面A3P3N的法向量=（x，y，z），有即，

所以=（1，-，-）．因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，

所以点A4到平面A3P3N 的距离=1，解得a=，

由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件．

所以所求四面体的体积V=Sh=××a=a3=．

解：（I）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形

其对角线长为．

（II）如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为∵△DMA≌△C1MA1，∴AM=A1M

故

（III）连接DB，C1B，

则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中，

∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，

∴CB⊥DB，

又C1C⊥平面CBD，

由三垂线定理得C1B⊥DB，∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），

∵侧面C1B1BC是正方形，∴∠C1BC=45°，

故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．