- 二维形式的柯西不等式
- 共66题
若x,y,z∈R,且2x+y+2z=6,则x2+y2+z2的最小值为______.
正确答案
4
解析
解:由于(22+1+22)(x2+y2+z2)≥(2x+y+2)2=36,
即 9(x2+y2+z2)≥36,∴x2+y2+z2≥4,即x2+y2+z2 的最小值为4,
故答案为:4.
函数y=+2的最大值是______.
正确答案
解析
解:由题意得,,解得5≤x≤6,
∴此函数的定义域是[5,6],
由柯西不等式得,
y=≤=,
当且仅当(5≤x≤6),即x=时取等号,
此时函数取得最大值为.
故答案为:.
已知a,b,c,d都是正数,a2+b2+c2=d2,a+b+c=dx,则x的取值范围是______.
正确答案
(1,]
解析
解:∵a,b,c,d都是正数,a2+b2+c2=d2,
∴++=1;
又∵a+b+c=dx,
∴x=++;
设=m,=n,=p,且m>0,n>0,p>0,
则m2+n2+p2=1,
x=m+n+p;
由柯西不等式得:
3=(12+12+12)•(m2+n2+p2)≥(1•m+1•n+1•p)2,
∴-≤m+n+p≤,当且仅当,即m=n=p=时,取得最大值;
又∵m>0,n>0,p>0,
∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1,
∴m+n+p>1;
综上,1<m+n+p≤,即x的取值范围是(1,].
故答案为:.
已知a>0,b>0,c>0,且ab=1,a2+b2+c2=4,则ab+bc+ac的最大值为______.
正确答案
1+2
解析
解:∵a2+b2+c2=4,ab=1
∴a2+b2=4-c2≥2ab=2当且仅当a=b=1时取等号
∴c2≤2
∵c>0
∴0<c≤,
a2+b2+c2=4,可得(a+b)2+c2=6,
则ab+bc+ac=1+(a+b)c=1+c
=1+当c=时,
取得最大值1+2,
∴ab+ac+bc的最大值为1+2
故答案为:1+2.
已知x,y∈R+,且x+y=2
(Ⅰ)要使不等式+≥|a+2|-|a-1|恒成立,求实数a的取值范围
(Ⅱ)求证:x2+2y2.
正确答案
解:(Ⅰ)∵x,y∈R+,且x+y=2,∴+=(+)•=1++≥2,
当且仅当x=y=1时,取等号.
要使不等式+≥|a+2|-|a-1|恒成立,只要2≥|a+2|-|a-1|.
而|a+2|-|a-1|表示数轴上的a对应点到-2的距离减去它到1对应点的距离,而对应点到-2的距离减去它到1对应点的距离正好等于2,
故不等式2≥|a+2|-|a-1|的解集为(-∞,).
(Ⅱ)证明:由柯西不等式得(x2+2y2)•(1+)≥(x+y)2=4,∴x2+2y2≥.
解析
解:(Ⅰ)∵x,y∈R+,且x+y=2,∴+=(+)•=1++≥2,
当且仅当x=y=1时,取等号.
要使不等式+≥|a+2|-|a-1|恒成立,只要2≥|a+2|-|a-1|.
而|a+2|-|a-1|表示数轴上的a对应点到-2的距离减去它到1对应点的距离,而对应点到-2的距离减去它到1对应点的距离正好等于2,
故不等式2≥|a+2|-|a-1|的解集为(-∞,).
(Ⅱ)证明:由柯西不等式得(x2+2y2)•(1+)≥(x+y)2=4,∴x2+2y2≥.
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