- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
设质量相等的甲．乙两颗卫星，分别贴近某星球表面和地球表面，环绕其球心做匀速圆周运动，已知该星球和地球的密度比为1：2，其半径分别为R和r，则（1）甲．乙两颗卫星的加速度之比为______；（2）甲．乙两颗卫星所受的向心力之比为______；（3）甲．乙两颗卫星的线速度之比为______；（4）甲．乙两颗卫星的周期之比为______．
正确答案
（1）根据万有引力提供向心力得：
a=
已知该星球和地球的密度比为1：2，其半径分别为R和r，
所以甲．乙两颗卫星的加速度之比为
（2）根据牛顿第二定律得：
F向=ma
甲．乙两颗卫星的加速度之比为
所以甲．乙两颗卫星所受的向心力之比为
（3）根据万有引力提供向心力得：
v=
已知该星球和地球的密度比为1：2，其半径分别为R和r，
所以甲．乙两颗卫星的线速度之比为
（4）根据圆周运动公式得：
T=
甲．乙两颗卫星的线速度之比为
所以甲．乙两颗卫星的周期之比为
故答案为：（1）
宇航员在地球上用一根长0.5m细绳拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出小球在最高点时的速度大小v=3m/s及绳上的拉力F=4N．若宇航员将此小球和细绳带到某星球上，在该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出在最低点时绳上拉力F1=9N，最高点时绳上拉力F2=3N．取地球表面重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计．求：
（1）该小球的质量m；
（2）该星球表面附近的重力加速度g’；
（3）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：4，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地．
正确答案
（1）小球在最高点A时，根据牛顿第二定律得
mg+F=m
解得 m=0.5kg
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，根据牛顿第二定律得
最低点：F1-mg=m
最高点：F2+mg=m
又由机械能守恒得
联立以上三式得 F2-F1=6mg′
解得星球表面附近的重力加速度g′=2m/s2
（3）根据重力等于万有引力得：
G
得：
答：
（1）该小球的质量m是0.5kg；
（2）该星球表面附近的重力加速度g为2m/s2；
（3）该星球的质量与地球质量之比M星：M地是1：80．
一对双星，是由相距L、质量分别为M1和M2的两颗星体构成，两星间引力很大但又未吸引到一起，是因为它们以连线上某点为圆心做圆周运动的结果，如图所示，试求它们各自运转半径和角速度各是多少？
正确答案
（1）根据万有引力提供向心力得：
G
G
所以上面①②两式相比得到
又因为L=R1+R2
所以解得：R1=
R2=
（2）①②相加得到
G
因为L=R1+R2
所以ω=
答：它们的轨道半径分别为：R1=
它们的角速度是ω=
图示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R0，周期为T0
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）长期观测发现A行星每隔t0时间其运行轨道便会偏离理论轨道少许，天文学家认为出现这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行的圆轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同）．根据上述现象和假设，试估箅未知行星B的运动周期和轨道半径．
正确答案
（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m，
由万有引力提供向心力得：G
解得：M=
故中央恒星O的质量为
（2）由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t0发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T，则有：
(
解得：T=
据开普勒第三定律：
得：R=
故未知行星B的运动周期为
如图所示．地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动．地球的轨道半径为R，运转周期为T．地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）．已知该行星的最大视角为θ，当 行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期．若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？
正确答案
由题意可得行星的轨道半径r=Rsinθ
设行星绕太阳的转动周期为T′由开普勒第三定律有：
设行星最初处于最佳观察时期前，其位置超前于地球，且经时间t地球转过α角后，该行星再次处于最佳观察期，
则行星转过的较大为β=π+α+2θ
于是有：
解得：t=
若行星最初处于最佳观察期时，期位置滞后于地球，同理可得：t=
答：该行星下一次处于最佳观察期至少需经历的时间为
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