- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
2007年10月24日，我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射。“嫦娥一号”卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星。设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T。已知月球半径为R，引力常量为G。求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度
正确答案
解：（1）万有引力提供向心力
求出
（2）月球表面万有引力等于重力
求出
（3）根据
求出
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化．卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）．
附：解答本题可能用到的数学知识：
若sinθ=a，则θ=arcsina；若cosθ=b，则θ=arccosb．
正确答案
如图，O和O′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧BE上运动时发出的信号被遮挡．
设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期．
由①②式得(
T1
T
)2=
r1
r
)3③
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B．
由几何关系得 rcosα=R-R1⑤r1cosβ=R1⑥
由③④⑤⑥式得t=
某行星的自转周期为T=6h，现用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测量同一物体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小10% （行星视为球体）．
(1) 该行星的平均密度是多大？
(2) 设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时的自转周期是多少？
正确答案
(1)3. 1×103kg/m3
(2)1. 9 h
某行星的质量为M，半径为R，自转周期为T，已知万有引力常量为G，试求：
（1）该行星两极的重力加速度；
（2）该行星“赤道”上的重力加速度；
（3）要从该行星表面发射一颗质量为m0的“近地卫星”，至少应该补充多少机械能？
正确答案
（1）对于放置于行星两极的质量为m的物体，有万有引力等于重力得出：
G
得：g=
（2）对于放置于行星赤道上的质量为m的物体，它随行星做匀速圆周运动．设它受到的“地面”支持力为N，则有
G
其中a=
N和重力是一对平衡力，所以N=mg′
解以上三式得g′=
（3）卫星在赤道上时，初速度最大，需要补充的机械能最少．
初速度v1=
近地环绕时，有G
需要补充的机械能△E=
答：（1）行星两极的重力加速度是
（2）该行星“赤道”上的重力加速度是
（3）至少应该补充的机械能为
2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功．中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家．据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空．此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10-11牛•米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度．（结果保留1位有效数字）
正确答案
设地球半径为R，地球质量为M，地球密度为ρ；飞船距地面高度为h，运行周期为T，飞船质量为m．
据题意题T=
飞船沿轨道运行时有F引=F向即G
而M=ρV=ρ•
由①②③式得：ρ=
答：地球的密度为6×103kg/m3．
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