- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转角速度为ω，则沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为______；某地球同步通讯卫星离地面的高度H为______．
正确答案
（1）沿地球表面运行的人造地球卫星所需要的向心力来源于重力，即mg=m(
所以沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为 2π
（2）设地球质量为M，卫星质量为m，地球同步卫星到地面的高度为H，则
同步卫星所受万有引力等于向心力：G
在地球表面上物体的引力等于物体的重力：G
由上式联立可得：H=
答：沿地球表面运行的人造地球卫星的周期为 2π
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。
正确答案
解：如图，O和O′分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A是地月连心级OO′与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点，根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在
设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有
式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期
由①②式得
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由几何关系得
由③④⑤⑥式得
（A） 如图，质量为M=3kg的木板放在光滑水平面上，质量为m=1kg的物块在木板上，它们之间有摩擦，木板足够长，两者都以v=4m/s的初速度向相反方向运动，当木板的速度为v1=2.4m/s时，物块的速度是______m/s，木板和物块最终的共同速度为______m/s．
（B）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的线速度v=______；向心加速度a=______．
正确答案
（A）以水平向右为正方向，根据动量守恒列方程有：
Mv-mv=mv1+Mv2，带入数据解得：v2=0.8m/s
设系统最终共同速度为v′，则根据动量守恒有：
Mv-mv=（M+m）v′，解得：v′=2m/s．
（B）根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出：
根据：G
解得：v=
根据：G
解得：a=G
故答案为：A：0.8，2；B：
北京时间2007年11月7号上午8点24分，在北京航天飞行控制中心的控制下，对“嫦娥一号”卫星成功完成了第一次近月制动，顺利完成第一次“太空刹车”动作，“嫦娥一号”被月球捕获，进入环月轨道， 成为我国第一颗月球卫星，此后又经两次制动，“嫦娥一号”进入距月球表面约200公里的圆轨道，设月球半径约为地球半径的
(1)请你说明，若第一次制动过小，“嫦娥一号”将不能成为月球卫星的理由．
(2)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？
(3)“嫦娥一号”卫星在距月球表面约200 km绕月做匀速圆周运动的速度大小约为多少？
正确答案
解：
(1)若第一次制动过小，“嫦娥一号”的速度过大，此时有：
(2)设地球、月球质量分别为M、M1，半径分别为 R、R1；卫星质量为m，在地球、月球上发射卫星的最小速度分别为v、v1.
在地球附近有：
对地球近地卫星有：
对月球近地卫星有：
联立解得：v1=1.8 km/s.
(3)当卫星轨道r=R1+h时，设卫星环绕速度为v2，由万有引力提供向心力得：
解得：v2=1.7 km/s．
如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。
（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常；
（2）若在水平地面上半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
正确答案
解：（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
来计算，式中m是Q点处某质点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV ②
而r是球形空腔中心O至Q点的距离，
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g'是这一改变在竖直方向上的投影
联立①②③④式得
（2）由⑤式得，重力加速度反常△g'的最大值和最小值分别为
由题设有
联立⑥⑦⑧式得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
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