- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境．在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态．现要求一架飞机在速率为v1=500m/s时进人失重状态试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验．重力加速度g=10m/s2．试问：
（i）在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素．
（ii）飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？
正确答案
（i）当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的试验者便处于完全失重状态．这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动．当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，失重时间的长短都是一定的、不可选择的．
当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择．
考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动．
设开始试验时飞机的初速度的大小为v1，方向与水平方向成θ角，起始位置为A点，经做抛物线运动在B点退出试验，
如图所示．以t表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为v2，
则有v2x=v1cosθ…（1）
v2y=v1sinθ-gt…（2）
而
由（1）、（2）、（3）式得：
g2t2-2v1gtsinθ+
解（4）式得：
t=
由（5）式可知，当进入试验时飞机的速度v1和退出试验时飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过角θ来调节．
（ii）当θ=90°时失重时间最长，由（5）式可求得最长失重时间
tmax=150s…（6）
当θ=-90°时，失重时间最短，由（5）式可求得最短失重时间
tmin=50s…（7）
失重时间的调节范围在150s到50s之间．
答：（i）在上述给定的速率要求下，该飞机当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择．当进入试验时飞机的速度v1和退出试验时飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过角θ来调节．
（ii）飞机模拟这种运动时，可选择的失重时间的调节范围在150s到50s之间．
1998年8月20日，中国太原卫星发射中心为美国“铱”星公司成功发射了两颗“铱”星系统的补网星。1998年9月23日，“铱”卫星通讯系统正式投入商业运行，标志着一场通讯技术革命开始了。原计划的“铱”卫星通讯系统是在距地球表面780km的太空轨道上建立一个由77颗小卫星组成的星座。这些小卫星均匀分布在覆盖全球的7条轨道上，每条轨道上有11颗卫星，由于这一方案的卫星排布像化学元素“铱”原子的核外77个电子围绕原子核运动一样，所以称为“铱”星系统。后来改为由66颗卫星，分布在6条轨道上，每条轨道上11颗卫星组成，仍称它为“铱”星系统。
（1）“铱”星系统的66颗卫星，其运行轨道的共同特点是
[ ]
A．以地轴为中心的圆形轨道
B．以地心为中心的圆形轨道
C．轨道平面必须处于赤道平面内
D．铱星运行轨道远低于同步卫星轨道
（2）上题所述的“铱”星系统的卫星运行速度约为
[ ]
A．7.9 km/s
B．7.5 km/s
C．3.07 km/s
D．11.2 km/s
正确答案
（1）BD
（2）B
我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大的提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，现请你解答：
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径。
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回到抛出点。已知月球半径为R月，万有引力常量为G。试求出月球的质量M月。
正确答案
解：（1）根据万有引力定律和向心力公式：G
解之得：r=
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意：t=
解之得：
土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比；
（2）求岩石颗粒A和B的周期之比；
（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
正确答案
解：（1）设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律：
解得：
对于A、B两颗粒分别有：
得：
（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：
对于A、B两颗粒分别有：
得：
（3）设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0'＝3.2×105 km处的引力为G0'，根据万有引力定律：
解得：
已知地球半径为R，一只静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度）绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为M，热气球的质量为m ，人造地球卫星的质量为m1 ，根据上述条件，有一位同学列出了以下两条式子：
对热气球有：GmM/R 2=mω02R
对人造卫星有：Gm1M/（R+h）2=m1ω2（R+h）
进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω。
你认为该同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果；若认为错误，请补充一个条件后，再求出ω。
正确答案
解：第一个等式（对热气球）不正确。
因为热气球不同于人造卫星，热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡，它绕地心运动的角速度应等于地球自转角速度。
第一种解法：若补充地球表面的重力加速度g，可以认为热气球受到的万有引力近似等于其重力，
则有G
与第二个等式联列可得：ω=
第二种解法：若利用同步卫星的离地高度H有：G
与第二个等式联到可得：ω=
第三种解法：若利用第一宇宙速度v1，有G
与第二个等式联列可得：ω=
此外若利用近地卫星运行的角速度也可求出ω来。
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