热门试卷

解：（1）求导函数，可得f′（x）=ex+2ax-e

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，

∴k=2a=0，

∴a=0

∴f（x）=ex-ex，

f′（x）=ex-e

令f′（x）=ex-e＜0，可得x＜1；

令f′（x）＞0，可得x＞1；

∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，1），单调增区间为（1，+∞）。

（2）设点P（x0，f（x0）），曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x-x0）+f（x0）令g（x）=f（x）-f′（x0）（x-x0）+f（x0）

∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，

∴g（x）有唯一零点

∵g（x0）=0，g′（x）= 

①若a≥0，当x＞x0时，g′（x）＞0，

∴x＞x0时，g（x）＞g（x0）=0

当x＜x0时，g′（x）＜0，

∴x＜x0时，g（x）＞g（x0）=0，

故g（x）只有唯一零点x=x0，

由P的任意性a≥0不合题意；

②若a＜0，令h（x）= ，则h（x0）=0，

h′（x）=ex+2a 令h′（x）=0，则x=ln（-2a），

∴x∈（-∞，ln（-2a）），

h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（ln（-2a），+∞），h′（x）＞0，函数单调递增；

（i）若x0=ln（-2a），由x∈（-∞，ln（-2a）），g′（x）＞0；

x∈（ln（-2a），+∞），g′（x）＞0，

∴g（x）在R上单调递增

∴g（x）只有唯一零点x=x0；

（ii）若x0＞ln（-2a），由x∈（ln（-2a），+∞），h（x）单调递增，且h（x0）=0，

则当x∈（ln（-2a），x0），g′（x）＜0，g（x）＞ g（x0）=0

任取x1∈（ln（-2a），x0），g（x1）＞0，

∵x∈（-∞，x1），

∴g（x）＜ax2+bx+c，其中b=-e+f′（x0）

c= 

∵a＜0，

∴必存在x2＜x1，使得 

∴g（x2）＜0，故g（x）在（x2，x1）内存在零点，即g（x）在R上至少有两个零点；

（iii）若x0＜ln（-2a），同理利用 ，可得g（x）在R上至少有两个零点；

综上所述，a＜0，曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P（ln（-2a），f（ln（-2a）））。

解：（1）当时，，

，

所以切线方程为y=x+ln2。

（2）因为，

所以，

令

（Ⅰ）当a=0时，， 

所以当时g(x)＞0，此时，函数单调递减；  

（Ⅱ）当时，

由，解得：，

①若时，函数f(x)在上单调递减；

②若，在单调递减，在上单调递增；

③ 当a＜0时，由于1/a-1＜0，

x∈(0，1)时，g(x)＞0，此时f(x)＜0，函数f(x)单调递减；

x∈(1，+∞)时，g(x)＜0，此时函数f(x)单调递增。

综上所述：当a≤0时，函数f(x)在（0，1）上单调递减，函数f(x)在(1，+∞)上单调递增；

当时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；

当时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增。

解：（1）由求导数得到

f'（x）=6x2+6（1-2a）x+6a（a-1）=6（x-a）（x-a+1）

∴y=f（x）在（-∞，a-1]上为增函数；在[a-1，a]上为减函数；在[a，+∞）上为增函数。

（2）由

对于关于x的二次方程

无实根或仅有零根，仅有零根不可能，

则判别式Δ=[3（1-2a）]2-4×2×6a（a-1）

=3（-2a+3）（2a+1）＜0

∴或

故所求a的取值范围为。

（3）设y=1与y=f（x）相切于点（x0，y0）

则

在x0=a时，则

∴

而当恒成立

∴2a3-3a2=1不可能成立，

在x0=a-1时，则

化简为，则a=0或

符合

因此所求符合条件的a值分别为0或。

解：（Ⅰ）当时，

所以

因此f'（2）=l

即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1

又f（2）=ln2+2

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2

即x-y+ln2=0；

（Ⅱ）因为

所以

令g（x）=ax2-x+l-a，x∈（0，+∞）

 （1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞）

所以当x∈（0，1）时，g（x）>0，此时f'（x）<