热门试卷

解：（1）∵f（x）=

∴f′（x）==

∵函数f（x）在x=1处取得极值

∴f′（1）=a﹣1=0

∴a=1

经检验，a=1时f′（x）=﹣

故0＜x＜1时f′（x）＞0，x＞1时f′（x）＜0，

所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减

故f（x）在x=1处取得极值．∴a=1

（2）由（1）可知a=1∴f（x）=

∴f′（x）=﹣

设切点A（x0，y0）

∴k=f′（x0）=﹣

又∵k=kOA=

∴=﹣

∴lnx0=﹣

∴

∴k=kOA===

解：（1）f'（x）=3mx2﹣1，

依题意，得，

即1=3m﹣1，

∴，把N（1，n）代入，得

，

∴

（2）令，则

，

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数

当时，f'（x）=2x2﹣1＜0，f（x）在此区间为减函数

当时，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值

又因此，当，

要使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010

所以，存在最小的正整数k=2010，使得不等式f（x）≤k﹣1992对于x∈[﹣1，3]恒成立．

解：（Ⅰ）f ’（x）=3x2+2mx﹣m2=（x+m）（3x﹣m）=0，则x=﹣m或x=m， 当x变化时， 

f ’（x）与f（x）的变化情况如下表：

从而可知，

当x=﹣m时，函数f（x）取得极大值9，即f（﹣m）=﹣m3+m3+m3+1=9，

∴m=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2﹣4x+1，

依题意知f’（x）=3x2+4x﹣4=﹣5，

∴x=﹣1或x=﹣．

又f（﹣1）=6，f（﹣）=，

所以切线方程为y﹣6=﹣5（x+1），或y﹣=﹣5（x+），5x+y﹣1=0，

或135x+27y﹣23=0．

解：（1）由已知得t=0，f'（x）=2mx+n，

则f'（0）=n=0，f'（﹣1）=﹣2m+n=﹣2，

从而n=0，m=1，

∴f（x）=x2，f'（x）=2x，g（x）=3ax2+b．

由f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），

得a+b﹣3=1，3a+b=2，

解得a=﹣1，b=5．

∴g（x）=﹣x3+5x﹣3（x＞0）．

（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=x3+x2﹣5x+3（x＞0），

求导数得F'（x）=3x2+2x﹣5=（x﹣1）（3x+5）．

∴F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，

从而F（x）的极小值为F（1）=0．

（3）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），

而函数f（x）在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1．

下面验证都成立即可．

由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．

设h（x）=﹣x3+5x﹣3﹣（2x﹣1），即h（x）=﹣x3+3x﹣2（x＞0），

求导数得h'（x）=﹣3x2+3=﹣3（x﹣1）（x+1）（x＞0），

∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

所以h（x）=﹣x3+5x﹣3﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，

所以﹣x3+5x﹣3≤2x﹣1恒成立．

故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=﹣1．