热门试卷

解：（1）f′（x）=ex+4x﹣3，则f'（1）=e+1，

又f（1）=e﹣1，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），

即（e+1）x﹣y﹣2=0；

（2）∵f′（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+1＞0，

∴f′（0）·f′（1）＜0，

令h（x）=f′（x）=ex+4x﹣3，

则h′（x）=ex+4＞0，

∴f′（x）在[0，1]上单调递增，

∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，

∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点

（3）由，

得，

即，

∵，∴，

令，则，

令，

则Φ'（x）=x（ex﹣1）

∵，∴Φ'（x）＞0，

∴Φ（x）在上单调递增，

∴，

因此g'（x）＞0，

故g（x）在上单调递增，

则．

解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，

所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且

于是，，且当，

即，时等号成立

故的最大值是16。

（2）由知在点处的切线l的方程是，

即，

因为切线l在点A处穿过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，

则不是g（x）的极值点

而，

且

若，则和都是的极值点

所以，即，

又由，得，

故。

解：（1）由题意可得：函数f（x）=x3+bx2+cx+d的导数为：f'（x）=3x2+2bx+c，

因为函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，

所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，

所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，

解得：b=﹣，c=6．

（2）设切点为（x0，y0），

由（1）可得：f'（x）=3x2﹣9x+6，

因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，

所以f'（x0）=6，即x0=3或者x0=0，

当x0=3时，y0=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3x2+6x+．

当x0=0时，y0=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3x2+6x+1．

（3）由题意可得：f（x）=x3x2+6x+1，并且P（0，1），

设切点的坐标为（x1，y1），所以==…①．

又因为f'（x）=3x2﹣9x+6，所以K切=3x12﹣9x1+6…②，

由①②可得：，

所以切点为（，），所以，

所以切线方程为15x﹣16y+16=0．

所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x﹣16y+16=0．

解：（1）∵函数f（x）=．

∴f'（x）=x2﹣2mx+m2﹣4

当m=3时，f '（2）=﹣3，f（2）=

所以所求的直线方程为9x+3y﹣20=0．

（2）∵函数f（x）==x[]

若关于x的方程f（x）=0有三个互不相等的实根0，α，β

则△=m2﹣＞0，

解得：﹣4＜0＜4

故满足条件的实数m的取值范围为（﹣4，4）

（3）∵f'（x）=x2﹣2mx+m2﹣4=[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+2）]，

f（x）在（﹣∞，m﹣2）上递增，在（m﹣2，m+2）递减，在（m+2，+∞）递增，

f（x）极大值=f（m﹣2）=（m﹣2）3﹣m（m﹣2）2+（m2﹣4）（m﹣2）＞0，

f（x）极小值=f（m+2）=（m+2）3﹣m（m+2）2+（m2﹣4）（m+2）＜0，

得﹣4＜m＜4且m2﹣4≠0，得﹣4＜m＜4，m≠±2．

若m+2＜0，即m∈（﹣4，﹣2），

当x∈[α，β]时，f（x）min=0，

∴当m∈（﹣4，﹣2）时，f（x）≥﹣恒成立．

若m﹣2＜0＜m+2，即m∈（﹣2，2）

要使当x∈[α，β]时，f（x）≥﹣恒成立，即f（x）min=f（m+2）≥﹣．

f（m+2）=（m+2）3﹣m（m+2）2+（m2﹣4）（m+2）≥﹣，得m（m2﹣12）≥0

∵m∈（﹣2，2）

∴m2﹣12＜0，

∴m≤0，

∴当﹣2＜m≤0时，f（x）≥﹣恒成立．

若0＜m﹣2，即m∈（2，4），要使当x∈[α，β]时，f（x）≥﹣恒成立，

即f（x）min=f（m+2）≥﹣，

f（m+2）=（m+2）3﹣m（m+2）2+（m2﹣4）（m+2）≥﹣

得m（m2﹣12）≥0

∵m∈（2，4）

∴2≤m＜4

综上得：m的取值范围是（﹣4，﹣2）．