热门试卷

解析：

（1）由

而点在直线上，

又直线的斜率为

故有                                

（2）由（1）得，

由及。

令，

令，

故在区间上是减函数，

故当时，，

当时，

从而当时，，当时，

在是增函数，在是减函数，

故

要使成立，只需故的取值范围是 

（1） .   由已知, 解得.

经检验, 符合题意.           

（2） .

（i）当时，在上是减函数。

（ii）当时，.

①  若，即， 则在上是减函数，在上是增函数；

② 若，即，则在上是减函数.

综上所述，当时，的减区间是，

当时，的减区间是，增区间是.

（3）当时,由(Ⅱ)知的最小值是；

易知在上的最大值是；

注意到,

故由题设知解得.

故的取值范围是.

（1）,依题意得:a=2; ……………2分

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0. ……………3分

两直线间的距离为……………4分

（2）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则

当a≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分

又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分

当a>0时,

当,当时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ……………8分

∴h(x)≤

因为h(1)＝0,又当a≠2时,≠1,与不符.

所以a＝2.  ……………9分

（3）当a<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)－h(x2)|＝h(x1)－h(x2),|x1－x2|＝x2－x1, ……………10分

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2

等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2, ……………11分

令H(x)＝h(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,

∵ (x>0), ……………12分

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2－x)min ……………13分

又x>0时, (2x2－x)min=

∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是.  ……………14分

（1）由题意可知，又. 又    

在中，，

故椭圆的标准方程为：                                                                       

（2）设

∵M.N在椭圆上，∴

又直线OM与ON的斜率之积为，∴，

于是

. 故为定值.

（1） 由是圆的切线，因此弦切角的大小等于夹弧所对的圆周角，在等腰中，，可得，所以. (5分)

（2）由与相似可知，，由切割线定理可知，，则，又，可得.  (10分)

（1）当a=1时，，

当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．

（2）因为，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值．

②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，

若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；

③当a＞e时，x∈（0，e]，

∴f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以，

∴a=e，不符合题意；

综上所述，a=e时符合题意．

（3）证明：当a=﹣1时，函数，

，

令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），则，

所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，

当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，

所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，

又g（1）=﹣1＜0，而，

因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，

所以函数在其定义域内有唯一的零点．

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