两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，cosB=，cosC=，且△ABC的面积为．

（1）求AB边的长；

（2）若D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，求BD的长．

正确答案

解：（1）△ABC中，cosB=，cosC=，∴sinB=，sinC=，设BC边上的高AE=h，

则AB=h，AC=3h，BC=BE+EC=h+2h．

再根据△ABC的面积为 BC•AE=（h+2h）•h=，求得h=．

∴AB=h=．

（2）若D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，则由内角平分线的性质可得=，

即 =，求得BD==3-．

解析

解：（1）△ABC中，cosB=，cosC=，∴sinB=，sinC=，设BC边上的高AE=h，

则AB=h，AC=3h，BC=BE+EC=h+2h．

再根据△ABC的面积为 BC•AE=（h+2h）•h=，求得h=．

∴AB=h=．

（2）若D为边BC上一点，且AD平分∠BAC，则由内角平分线的性质可得=，

即 =，求得BD==3-．

题型：填空题

填空题

已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x-y=______．

正确答案

解析

解：由题意可得tanxtany==2，

解得cosxcosy=，故cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny=

故x-y=2kπ±，k∈Z，

又0＜y＜x＜π，所以0＜x-y＜π．

所以x-y=

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知向量．则cos（α-β）的值为______．

正确答案

解析

解：由题意得，，

∵，

∴（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=，

化简得，2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=，

即cosαcosβ+sinαsinβ=，

∴cos（α-β）=，

故答案为：．

题型：单选题

单选题

已知A，B均为钝角，，，则A+B的值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意知：，∴，

则cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=-，

又∵π＜A+B＜2π∴A+B=．

故选A

题型：简答题

简答题

已知α，β是锐角，sin（α+β）=，cosα=，求cosβ．

正确答案

解：因为α是锐角，cosα=＜，

所以，sinα==，

则，即cos（α+β）

由sin（α+β）=得，cos（α+β）==±，

因为，所以cos（α+β）=-，

则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα

=（-）×+×=

解析

解：因为α是锐角，cosα=＜，

所以，sinα==，

则，即cos（α+β）

由sin（α+β）=得，cos（α+β）==±，

因为，所以cos（α+β）=-，

则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα

=（-）×+×=

题型：简答题

简答题

设平面上A、B两点坐标分别是，

（1）求|的最大值和最小值；

（2）设函数|-3，a∈R，求f（x）的最小值．

正确答案

解：（1）由题意可得 =（cos+cos，sin-sin），

∴=+=2+2cos2α，由α∈[0，]，可得cos2α∈[-1，1]，

∴当cos2α=-1时，||取得最小值为0，当cos2α=1时，||取得最大值为2．

（2）由于函数f（x）=+4a||-3=2+2cos2α+4a，α∈[0，]，

∴f（x）=4cos2α+8acosα-3=4（cosα+a）2-3-4a2．

当a＞0时，则cosα=0时，函数f（x）取得最小值为-3；

当-1≤a≤0时，则cosα=a时，函数f（x）取得最小值为-3-4a2；

当a＜-1时，则cosα=1时，f（x）取得最小值为1+8a．

解析

解：（1）由题意可得 =（cos+cos，sin-sin），

∴=+=2+2cos2α，由α∈[0，]，可得cos2α∈[-1，1]，

∴当cos2α=-1时，||取得最小值为0，当cos2α=1时，||取得最大值为2．

（2）由于函数f（x）=+4a||-3=2+2cos2α+4a，α∈[0，]，

∴f（x）=4cos2α+8acosα-3=4（cosα+a）2-3-4a2．

当a＞0时，则cosα=0时，函数f（x）取得最小值为-3；

当-1≤a≤0时，则cosα=a时，函数f（x）取得最小值为-3-4a2；

当a＜-1时，则cosα=1时，f（x）取得最小值为1+8a．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=（　　）

A-

B-

C±

D±

正确答案

解析

解：∵B为三角形的内角，cosB=＞0，∴B为锐角，

∴sinB==，又sinA=，

∴sinB＞sinA，可得A为锐角，

∴cosA==，

则cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=-．

故选A

题型：填空题

填空题

已知tan（α+β）=7，tanα•tanβ=，则cos（α-β）的值是______．

正确答案

解析

解：因为tan（α+β）=7，tanα•tanβ=，

所以tan（α+β）=，即7=，

所以tanα+tanβ=，

所以tanα=2，tanβ=或者tanβ=2，tanα=，

所以tan（α-β）===1；或者tan（α-β）==-1，

所以cos（α-β）=±；

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知α，β为锐角，且，，则α+β的值为______．

正确答案

45°

解析

解：∵α，β为锐角，且，，

∴，，

∴cos（α+β）==

∵α，β为锐角，

∴0°＜α+β＜180°

∴α+β=45°．

题型：简答题

简答题

若α是锐角，且sin（）=，求cosα的值．

正确答案

解：∵α是锐角

∴

又∵sin（）=

∴

∵，

∴

解析

解：∵α是锐角

∴

又∵sin（）=

∴

∵，

∴

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