两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），P（cosα，sinα），其中0≤α≤．

（1）若cosα=，求证：⊥；

（2）若∥，求sin（2α+）的值．

正确答案

解：（1）∵cosα=，0≤α≤，

∴sinα==，

∴点P的坐标为（，）．

∴=（，-），=（-，-）．

∴•=×（-）+（-）2=0，

∴⊥

（2）由题意=（-cosα，-sinα），=（-cosα，-sinα）．

∵∥，∴-sinα•（-cosα）-sinαcosα=0，解得sinα=0．

∵0≤α≤，∴α=0，∴sin（2α+）=sin=．

解析

解：（1）∵cosα=，0≤α≤，

∴sinα==，

∴点P的坐标为（，）．

∴=（，-），=（-，-）．

∴•=×（-）+（-）2=0，

∴⊥

（2）由题意=（-cosα，-sinα），=（-cosα，-sinα）．

∵∥，∴-sinα•（-cosα）-sinαcosα=0，解得sinα=0．

∵0≤α≤，∴α=0，∴sin（2α+）=sin=．

题型：填空题

填空题

函数y=5sin（x+20°）-5sin（x+80°）的最大值是______．

正确答案

解析

解：y=5sin（x+20°）-5sin[（x+20°）+60°]

=5sin（x+20°）-5sin（x+20°）cos60°-5cos（x+20°）sin60°

=sin（x+20°）-cos（x+20°）

=5（sin（x+20°）-cos（x+20°））

=5sin（x+80°），

当sin（x+80°）=1时，ymax=5，

故答案为：5．

题型：单选题

单选题

（2015秋•包头校级期末）若α，β为锐角，且满足cosα=，则sinβ的值为（　　）

正确答案

解析

解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，

则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-×=，

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知0＜α＜，tan+=5，求sin（α-）的值．

正确答案

解：∵tan+=5，

∴+=5，

∴2sincos=，

∴sinα=，∴cosα==，

∴sin（α-）=sinαcos-cosαsin

=×-×=．

解析

解：∵tan+=5，

∴+=5，

∴2sincos=，

∴sinα=，∴cosα==，

∴sin（α-）=sinαcos-cosαsin

=×-×=．

题型：简答题

简答题

已知函数y=cos4x+sin4x，求函数的最小正周期，递增区间及最大值．

正确答案

解：y=2（cos4x+sin4x）=2sin（4x+），

∴T==，

ymax=2，

由2kπ-≤4x+≤2kπ+，得-≤x≤+，k∈Z，

即函数的单调增区间为[-，+]（k∈Z）．

解析

解：y=2（cos4x+sin4x）=2sin（4x+），

∴T==，

ymax=2，

由2kπ-≤4x+≤2kπ+，得-≤x≤+，k∈Z，

即函数的单调增区间为[-，+]（k∈Z）．

题型：简答题

简答题

已知sinα+cosβ=，sinβ-cosα=，求sin（α-β）的值．

正确答案

解：由题意可得sinα+cosβ=，①sinβ-cosα=，②

①2+②2可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2（sinαcosβ-sinβcosα）=，

∴2+2（sinαcosβ-sinβcosα）=，

解得sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα=-．

解析

解：由题意可得sinα+cosβ=，①sinβ-cosα=，②

①2+②2可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2（sinαcosβ-sinβcosα）=，

∴2+2（sinαcosβ-sinβcosα）=，

解得sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα=-．

题型：简答题

简答题

若函数f（x）=sinωxcosωx-sin2ωx+（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与轴的交点，且△ABC为直角三角形．

（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（x）的图象与f（x）的图象与关于点（-，0）对称，且对一切x∈R，恒有m2+[g（x）]2＞4[m+g（-x）]成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx-sin2ωx+

=sin2ωx+cos2ωx

=sin（2ωx+），

∴f（x）max=1，=2，T=4，

由=4，

∴ω=

∴f（x）=sin（x+），

其递增区间满足：-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[4k-，4k+]，k∈Z．

（Ⅱ）由已知g（x）=-f（--x）=-sin[（--x）+]=sinx，

由 m2+[g（x）]2＞4[m+g（-x）]，得m2-4m＞-[g（x）]2+4g（-x），

设t=-[g（x）]2+4g（-x）=sin2x+4sin[（-x）]=-sin2x-4sinx=-（sinx+2）2+4，

∵x∈R，

∴sinx=-1时，t有最大值，且tmax=-1+4=3，

∴m2-4m＞3，即m2-4m-3＞0，

解得m＜2-或m＞2+．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx-sin2ωx+

=sin2ωx+cos2ωx

=sin（2ωx+），

∴f（x）max=1，=2，T=4，

由=4，

∴ω=

∴f（x）=sin（x+），

其递增区间满足：-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为[4k-，4k+]，k∈Z．

（Ⅱ）由已知g（x）=-f（--x）=-sin[（--x）+]=sinx，

由 m2+[g（x）]2＞4[m+g（-x）]，得m2-4m＞-[g（x）]2+4g（-x），

设t=-[g（x）]2+4g（-x）=sin2x+4sin[（-x）]=-sin2x-4sinx=-（sinx+2）2+4，

∵x∈R，

∴sinx=-1时，t有最大值，且tmax=-1+4=3，

∴m2-4m＞3，即m2-4m-3＞0，

解得m＜2-或m＞2+．

题型：填空题

填空题

已知△ABC的三个内角满足sinA=sinBcosC，则△ABC的形状一定是______．

正确答案

直角三角形

解析

解：由sinA=sinBcosC得sin（B+C）=sinBcosC，

即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，

即cosBsinC=0，

在三角形中，cosB≠0，

则有sinC=0，即C=90°，

即三角形为直角三角形，

故答案为：直角三角形

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx），

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若，求f（x）的值域．

正确答案

解：（1）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx

=1-cos2x+sin2x=1+sin（2x-），

则函数f（x）的最小正周期T=；

（2）若，

则0≤2x≤π，-≤2x-≤，

则sin（-）≤sin（2x-）≤sin，

即-≤sin（2x-）≤1，

-1≤sin（2x-）≤，

则0≤1+sin（2x-）≤1+，

即f（x）的值域为[0，1+]．

解析

解：（1）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx

=1-cos2x+sin2x=1+sin（2x-），

则函数f（x）的最小正周期T=；

（2）若，

则0≤2x≤π，-≤2x-≤，

则sin（-）≤sin（2x-）≤sin，

即-≤sin（2x-）≤1，

-1≤sin（2x-）≤，

则0≤1+sin（2x-）≤1+，

即f（x）的值域为[0，1+]．

题型：简答题

简答题

设△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c，且sinC=2sin（A-B）．

（Ⅰ）证明：tanA=3tanB；

（Ⅱ）若c=2b，求∠A的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：sinC=2sin（A-B），

即sin（A+B）=2sin（A-B），

即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-2cosAsinB，

即sinAcosB=3cosAsinB，

即有tanA=3tanB；

（Ⅱ）解：由正弦定理可得，c=2b即为

sinC=2sinB，

由于sinC=2sin（A-B），

则sinB=sin（A-B），

由A，B为三角形的内角，

则B=A-B，则A=2B，

即有tan2B=3tanB，

解得=3tanB，

即有tanB=，（负值舍去）．

则有tanA=，

由于A为锐角，

则A=．

解析

（Ⅰ）证明：sinC=2sin（A-B），

即sin（A+B）=2sin（A-B），

即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-2cosAsinB，

即sinAcosB=3cosAsinB，

即有tanA=3tanB；

（Ⅱ）解：由正弦定理可得，c=2b即为

sinC=2sinB，

由于sinC=2sin（A-B），

则sinB=sin（A-B），

由A，B为三角形的内角，

则B=A-B，则A=2B，

即有tan2B=3tanB，

解得=3tanB，

即有tanB=，（负值舍去）．

则有tanA=，

由于A为锐角，

则A=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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