两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：单选题

单选题

sin15°cos15°=（　　）

正确答案

解析

解：sin15°cos15°=×（2sin15°cos15°）

=sin30°=．

故选A

题型：填空题

填空题

已知cos2α-cos2β=m，那么sin（α+β）sin（α-β）=______．

正确答案

-m

解析

解：∵cos2α-cos2β=m，

∴sin（α+β）sin（α-β）=（sinαcosβ）2-（cosαsinβ）2

=sin2αcos2β-cos2α（1-cos2β）=sin2αcos2β-cos2α+cos2αcos2β

=（sin2αcos2β+cos2αcos2β）-cos2α=cos2β-cos2α=-m，

故答案为：-m．

题型：简答题

简答题

已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），若•=1，求cos（-x）的值．

正确答案

解：∵=（sin，1），=（cos，cos2），

∴•=sincos+cos2=sin+cos+=1，

∴sin（+）=，

∴cos（-x）=cos[π-（x+）]=-cos（x+）

=1-2cos2（+）=1-2×=．

解析

解：∵=（sin，1），=（cos，cos2），

∴•=sincos+cos2=sin+cos+=1，

∴sin（+）=，

∴cos（-x）=cos[π-（x+）]=-cos（x+）

=1-2cos2（+）=1-2×=．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（-，）

（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．

正确答案

解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）

=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx-sinx=-sinx+cosx

=sin（-x）=-sin（x-）．

∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，

∴sin（x-）∈[-，1]，

∴-sin（x-）∈[-1，]，

故f（x）在区间[0，π]上的最小值为-1，最大值为．

（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（-，），

f（）=0，f（π）=1，

∴cosθ-asin2θ=0 ①，-sinθ-acos2θ=1 ②，

由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==--．

再根据cos2θ=1-2sin2θ，可得--=1-2×，

求得 a=-1，∴sinθ=-，θ=-．

综上可得，所求的a=-1，θ=-．

解析

解：（1）当a=，θ=时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）

=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosx-sinx=-sinx+cosx

=sin（-x）=-sin（x-）．

∵x∈[0，π]，∴x-∈[-，]，

∴sin（x-）∈[-，1]，

∴-sin（x-）∈[-1，]，

故f（x）在区间[0，π]上的最小值为-1，最大值为．

（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（-，），

f（）=0，f（π）=1，

∴cosθ-asin2θ=0 ①，-sinθ-acos2θ=1 ②，

由①求得sinθ=，由②可得cos2θ==--．

再根据cos2θ=1-2sin2θ，可得--=1-2×，

求得 a=-1，∴sinθ=-，θ=-．

综上可得，所求的a=-1，θ=-．

题型：填空题

填空题

锐角α，β满足tanα，tanβ是方程x2-3x+4=0的两个根，则α+β的值为______．

正确答案

解析

解：依题意知tanα+tanβ=3，tanα•tanβ=4，

∴tan（α+β）===-，

∵α，β为锐角，

∴0＜α+β＜π

∴α+β=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，（α，β，a，b为非零实数），且f（2003）=6，则f（2004）的值为______．

正确答案

解析

解：因为f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，（α，β，a，b为非零实数），且f（2003）=6，

所以6=asin（π×2003+α）+bcos（π×2003+β）+4

=asin（π+α）+bcos（π+β）+4=-（asinα+bcosβ）+4，

则asinα+bcosβ=-2

而f（2004）=asin（2004π+α）+bcos（2004π+β）+4=（asinα+bcosβ）+4=-2+4=2．

故答案为 2

题型：简答题

简答题

已知函数y=

（Ⅰ）求函数y的最小正周期；

（Ⅱ）求函数y的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵y=2（） …（2分）

=2（sinxcos30°+cosxsin30°） …（4分）

=2sin（x+30°） …（6分）

∴y的最小正周期是2π． …（8分）

（Ⅱ）∵-1≤sin（x+30°）≤1，…（10分）

∴-2≤2sin（x+30°）≤2 …（12分）

∴函数y的最大值是2． …（14分）

解析

解：（Ⅰ）∵y=2（） …（2分）

=2（sinxcos30°+cosxsin30°） …（4分）

=2sin（x+30°） …（6分）

∴y的最小正周期是2π． …（8分）

（Ⅱ）∵-1≤sin（x+30°）≤1，…（10分）

∴-2≤2sin（x+30°）≤2 …（12分）

∴函数y的最大值是2． …（14分）

题型：简答题

简答题

如图所示，锐角α和钝角β的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A、B两点，角α的终边与射线y=x（x≥0）重合．

（1）若点B的纵坐标为，求sin（β-α）；

（2）若=，求在方向上的投影．

正确答案

解：（1）由已知得tanα=，

∵α是锐角，

∴α=，sinα=，cosα=，

∵点B的纵坐标为，

则sin，cos，

则sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=；

（2）在方向上的投影为||cos∠OAB==（）=-=-．

解析

解：（1）由已知得tanα=，

∵α是锐角，

∴α=，sinα=，cosα=，

∵点B的纵坐标为，

则sin，cos，

则sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=；

（2）在方向上的投影为||cos∠OAB==（）=-=-．

题型：简答题

简答题

已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，sinβ=．

（1）求cosβ；

（2）求tan（α+β）．

正确答案

解：（1）∵，

又∵sin2β+cos2β=1

∴cosβ=

（2）∵，，sin2α+cos2α=1

∴∴

又∵

∴==-（10分）

解析

解：（1）∵，

又∵sin2β+cos2β=1

∴cosβ=

（2）∵，，sin2α+cos2α=1

∴∴

又∵

∴==-（10分）

题型：填空题

填空题

=______．

正确答案

解析

解：原式=•

=tan=

故答案为：

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