矩阵乘法的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）

求矩阵的逆矩阵．

正确答案

解析

解：ad-bc=3-4=-1

A-1==

∴．

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题型：简答题

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简答题

选修4-2：矩阵与变换

设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M-1．

正确答案

解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P‘（x'，y'），

由，得

因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）

依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，

而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）

故，

故矩阵M的逆矩阵M-1=．…（10分）

解析

解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P‘（x'，y'），

由，得

因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）

依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，

而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）

故，

故矩阵M的逆矩阵M-1=．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

已知二阶矩阵M满足：M=，M=，则M-1=______．

正确答案

解析

解：设M=，

∵M=，M=，

∴=，=，

∴b=1，d=1，a=0，c=-1，

∴M=，

∴M的行列式为=1，

∴M-1=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．

正确答案

解：因为A-1A=E，所以A=（A-1）-1．

因为|A-1|=-，所以A=（A-1）-1=． …（5分）

于是矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2-3λ-4，…（8分）

令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=-1，λ2=4．…（10分）

解析

解：因为A-1A=E，所以A=（A-1）-1．

因为|A-1|=-，所以A=（A-1）-1=． …（5分）

于是矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2-3λ-4，…（8分）

令f（λ）=0，解得A的特征值λ1=-1，λ2=4．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A=（b，c为实数）．若矩阵A属于特征值2的一个特征向量为．

（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A-1；

（Ⅱ）求直线x+y-1=0在矩阵A-1对应的变换作用下得到的直线方程．

正确答案

解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值2的一个特征向量为，

∴=2，

∴b=2，c=-1，

∴A=，

∴A-1=；

（Ⅱ）设点（x，y）是直线x+y-1=0上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），

则=，

∴，

∴x′+2y′-x′+4y′-1=0，

∴6y′-1=0，

即6y-1=0．

解析

解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值2的一个特征向量为，

∴=2，

∴b=2，c=-1，

∴A=，

∴A-1=；

（Ⅱ）设点（x，y）是直线x+y-1=0上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），

则=，

∴，

∴x′+2y′-x′+4y′-1=0，

∴6y′-1=0，

即6y-1=0．

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题型：简答题

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简答题

请用逆矩阵的方法求二元一次方程组的解．

正确答案

解：记A=，则A-1=．

两边左乘A-1可得：X=A-1•B==，

所以，原方程组的解为．

解析

解：记A=，则A-1=．

两边左乘A-1可得：X=A-1•B==，

所以，原方程组的解为．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=

（1）求M的逆矩阵M-1；

（2）求直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程；

（3）判断=是否为M的特征向量．

正确答案

解：（1）|M|==1-4=-3，

∴M-1=；

（2）设=，则，

∴x=-x′+y′，

∵直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程，

∴-x′+y′=1，即x-2y+3=0；

（3）∵=-

∴=是M的特征向量．

解析

解：（1）|M|==1-4=-3，

∴M-1=；

（2）设=，则，

∴x=-x′+y′，

∵直线l：x=1经M对应的变换TM变换后的直线l′的方程，

∴-x′+y′=1，即x-2y+3=0；

（3）∵=-

∴=是M的特征向量．

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题型：简答题

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简答题

给定矩阵M=，N=及向量e1=，e1=．

（1）证明M和N互为逆矩阵；

（2）证明e1和e2都是M的特征向量．

正确答案

解：（1）因为MN==，NM==，

所以M和N互为逆矩阵．（4分）

（2）向量e1=在M的作用下，其像与其保持共线，即==，

向量e2=在M的作用下，其像与其保持共线，即=，

所以e1和e2是M的特征向量．（10分）

解析

解：（1）因为MN==，NM==，

所以M和N互为逆矩阵．（4分）

（2）向量e1=在M的作用下，其像与其保持共线，即==，

向量e2=在M的作用下，其像与其保持共线，即=，

所以e1和e2是M的特征向量．（10分）

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题型：简答题

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简答题

选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=，属于特征值1的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

正确答案

解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=可得，=6，即c+d=6；…（2分）

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=，可得=，即3c-2d=-2，…（4分）

解得即A=，…（6分）

A的逆矩阵是．…（8分）

解析

解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=可得，=6，即c+d=6；…（2分）

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=，可得=，即3c-2d=-2，…（4分）

解得即A=，…（6分）

A的逆矩阵是．…（8分）

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题型：简答题

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简答题

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为；

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵A-1．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．

（3）选修4-5：不等式选讲，设函数f（x）=|x-1|+|x-a|；

（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；

（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范围．

正确答案

（1）解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，∴

∴，得c+d=6①---------------（2分）

同理，得，3c-2d=-2②----------------（3分）

由①②联立，解得，c=2，d=4；∴…（4分）

（Ⅱ）∵，∴矩阵A可逆，…（5分）

∴…（7分）

（2）（Ⅰ）∵，∴，

∴ρsinθ+ρcosθ=1．----------------（2分）

所以，该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．----------------（3分）

（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4----------------（4分）

圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离．---------------（5分）

所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为．----------------（7分）

（3）（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|．

由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3．

①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3，即．所以，原不等式的解为．…（1分）

②当-1＜x＜1时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3．所以，原不等式无解．…（2分）

③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3，即．所以，原不等式的解为．…（3分）

综上，原不等式的解为．…（4分）

（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）min≤2．…（5分）

因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，

所以，f（x）min=|a-1|．…（6分）

∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．

所以，a的取值范围为[-1，3]．…（7分）

解析

（1）解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，∴

∴，得c+d=6①---------------（2分）

同理，得，3c-2d=-2②----------------（3分）

由①②联立，解得，c=2，d=4；∴…（4分）

（Ⅱ）∵，∴矩阵A可逆，…（5分）

∴…（7分）

（2）（Ⅰ）∵，∴，

∴ρsinθ+ρcosθ=1．----------------（2分）

所以，该直线的直角坐标方程为：x+y-1=0．----------------（3分）

（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4----------------（4分）

圆心M（0，-2）到直线x+y-1=0的距离．---------------（5分）

所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为．----------------（7分）

（3）（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|．

由f（x）≥3，得，|x-1|+|x+1|≥3．

①当x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3，即．所以，原不等式的解为．…（1分）

②当-1＜x＜1时，不等式化为1-x+1+x≥3，即2≥3．所以，原不等式无解．…（2分）

③当x≥1时，不等式化为-1+x+1+x≥3，即．所以，原不等式的解为．…（3分）

综上，原不等式的解为．…（4分）

（Ⅱ）因为关于x的不等式f（x）≤2有解，所以，f（x）min≤2．…（5分）

因为|x-1|+|x-a|表示数轴上的点到x=1与x=a两点的距离之和，

所以，f（x）min=|a-1|．…（6分）

∴|a-1|≤2，解得，-1≤a≤3．

所以，a的取值范围为[-1，3]．…（7分）

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