平面向量_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知向量=(1，m)为单位向量，则实数m=______．

正确答案

∵已知向量=(1，m)为单位向量，∴的模等于1，即 =1，m=0，

故答案为 0．

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题型：填空题

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填空题

与（-4，3）平行的单位向量是______．

正确答案

与（-4，3）平行的单位向量是±=±(-，)．

故答案为±(-，)．

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题型：填空题

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填空题

与向量=(3，-2)平行的单位向量是______．

正确答案

设与向量=(3，-2)平行的单位向量 =(x，y)，

因为||=

所以=±

=(，-)或(-，)

故答案为(，-)或(-，)．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（3，-4），求：

（1）与平行的单位向量；

（2）与垂直的单位向量；

（3）将绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标．

正确答案

（1）设=λ，则||=1，=（，-）或=（-，）．

（2）由⊥c，=（3，-4），可设=λ（4，3），求得=（，）或=（-，-）．

（3）设=（x，y），则x2+y2=25．

又•=3x-4y=||||cos45°，即3x-4y=，由上面关系求得=（，-），

或=（-，-），

而向量由绕原点逆时针方向旋转45°得到，故=（，-）．

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题型：填空题

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填空题

设，，为单位向量，，的夹角为60°，则（++）•的最大值为______．

正确答案

由题意||=||=||=1，＜，＞=60°

设a=（1，0），=(，)，=(cosα，sinα)

∴（++）•=•+•+|

c

|2=cosα+cosα+sinα+1

=cosα+sinα+1

=sin(α+ 60° )+1≤+1

即最大值为1+

故答案为：1+

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题型：填空题

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填空题

与向量=（3，4）垂直的单位向量为______．

正确答案

设这个向量为 =（a，b），

根据题意，有，

解得：，或，

故答案为：=（，-）或（-，）．

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题型：填空题

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填空题

已知=(-2，2)，=(3，1)，则与+2同向的单位向量为______．

正确答案

∵=(-2，2)，=(3，1)，

∴+2=（4，4）

则|+2|=4

∴与+2同向的单位向量为（，）

故答案为：（，）

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题型：填空题

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填空题

设=（2，-3），=（-1，1），是与-同向的单位向量，则的坐标是______．

正确答案

∵=（2，-3），=（-1，1）

∴-=（3，-4）

∵|-|=5

∴与-同向的单位向量为（3，-4）即（，-）

即的坐标是（，-）

故答案为（，-）

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题型：填空题

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填空题

已知||=1，且满足|+|=|-2|，则向量在方向上的投影等于______．

正确答案

∵|+|=|-2|，

∴(

a

+

e

)2=(

a

-2

e

)2

∴

a

2 +2+

e

2=

a

2 -4+4

e

2，

∴ =

又∵||=1

∴向量在方向上的投影为：=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知与为互相垂直的单位向量，=+2，=2+λ，且与共线，则实数λ=______．

正确答案

以，分别为x轴，y轴的方向向量建立平面直角坐标系则

=(1，2)，=(2，λ)

∵，共线

∴λ=4

故答案为4

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题型：填空题

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填空题

已知点A（0，2），B（3，-2），那么与共线的一个单位向量______．

正确答案

由题意得，=（3，-2）-（0，2）=（3，-4），

则||==5，

∴与共线的一个单位向量是±=±=±(，-)，

故答案为：±(，-)．

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题型：填空题

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填空题

与向量=（1，2）共线的单位向量（）。

正确答案

，

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}、若由bn=•构成的数列{bn}满足bn+1＞bn，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，

（1）判断A1( 1， 1)，A2( 2， )，A3( 3， )，…，An( n， )，…，是否为T点列，并说明理由；

（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；

（3）若{An}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：•＞•．

正确答案

（1）由题意可知an=，

∴bn=-=，

显然有bn+1＞bn，

∴{An}是T点列

（2）在△AkAk+1Ak+2中，=(-1，ak-ak+1)，=(1，ak+2-ak+1)，•=-1+(ak+2-ak+1)(ak-ak+1)

∵点A2在点A1的右上方，

∴b1=a2-a1＞0，

∵{An}为T点列，

∴bn≥b1＞0，

∴（ak+2-ak+1）（ak-ak+1）=-bk+1bk＜0，则•＜0

∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，

∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形、

（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，

∴q-p=n-m＞0

①aq-ap=aq-aq-1+aq-1-aq-2++ap+1-ap=bq-1+bq-2++bp≥（q-p）bp②

同理an-am=bn-1+bn-2++bm≤（n-m）bn-1、③

由于{An}为T点列，于是bp＞bn-1，④

由①、②、③、④可推得aq-ap＞an-am，

∴aq-an＞ap-am，

即•＞•

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题型：填空题

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填空题

有下列几个命题：①若与-都是非零向量，则“•=•”是“⊥(-)”的充要条件；②已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是；③在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-1）；④设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于以，为邻边的平行四边形的面积．其中正确命题的序号是______．（写出全部正确结论的序号）

正确答案

若与-都是非零向量，则“•=•”⇒“⊥(-)”为真，“⊥(-)”⇒“•=•”为真，故①正确；

若等腰△ABC的腰为底的2倍，则sin=，cos=，进而得到顶角A的正切值为，故②正确；

在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A（-2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，-2），故③错误；

由向量与不共线，⊥，||=||，设＜，＞=θ，则|•|=||•||•cos（90°-θ）=||•||•sinθ，等于以，为邻边的平行四边形的面积，故④正确．

故答案为：①②④

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题型：填空题

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填空题

若A（-2，4）、B（2，1），则向量的单位向量=______．

正确答案

∵=（4，-3），

∴||=5，向量的单位向量==(，-)，

故答案为 (，-)．

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正确答案

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