弦切角的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=CE，AC=8，D为EF的中点，则AB=______．

正确答案

24

解析

解：连接AD，BC．

设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x

∵AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，

∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．

又∵D为Rt△AEF的斜边EF的中点，

∴DA=DE=DF，

∴∠DAF=∠AFD，

∴∠ACD=∠AFD，

∴AF=AC=8．

在Rt△AEF中，由勾股定理得EF2=AE2+AF2，即36x2=y2+320．

设BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x2，

∴y2+320=3yz①

又∵AD=DE，

∴∠DAE=∠AED．

又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，

∴∠BCE=∠BEC，从而BC=BE=z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即（y+z）2=320+z2，

∴y2+2yz=320．②

联立①②，解得y=8，z=16．

∴AB=AE+BE=24．

故答案为：24．

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题型：填空题

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填空题

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F，已知BC=8，CD=5，AF=6，则EF=______．

正确答案

解析

解：∵梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，

∴梯形是等腰梯形，又CD=5

∴AB=DC=5，

又BF是切线，

∴∠ABF=∠ACB，∠EAB=∠DCB=∠ABC

∴△ABE∽△BCA，

∴AB2=AE•BC，

∴AE=，

又由DA∥BC，可得出△FEA∽△FBC，

∴

∴FC=，

∵FB2=FA•FC

∴FB=，

又由△ABE∽△BCA可得出BE==

∴EF=

故答案为

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题型：填空题

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填空题

（选做）如图，AB，CD是圆O的两条线，且AB是线段CD的中垂线，已知，则线段BC的长度为______．

正确答案

解析

解：连接BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，

∵AB是线段CD的垂直平分线，

∴AB是圆的直径，∠ACB=90°，

则EB=6-x，CE=．由射影定理得CE2=AE•EB，

即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5，

∴BC2=BE•AB=1×6=6，即BC=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N 点的切线交C A 的延长线于P

（1）求证：PM2=PA．PC

（2）若MN=2，OA=OM，求劣弧的长．

正确答案

（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，

∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN，

∠PNM=90°-∠ONB，

∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．

根据切割线定理，有PN2=PA•PC，

∴PM2=PA•PC．…（5分）

（2）解：设，则在直角△OBM中，BM=2x

又，由相交弦定理得

故⊙O的半径，

∴BN弧长…（10分）

解析

（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，

∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN，

∠PNM=90°-∠ONB，

∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．

根据切割线定理，有PN2=PA•PC，

∴PM2=PA•PC．…（5分）

（2）解：设，则在直角△OBM中，BM=2x

又，由相交弦定理得

故⊙O的半径，

∴BN弧长…（10分）

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题型：简答题

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简答题

（选修4-1　几何证明选讲）

如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F，∠AFB的平分线分别交AB，CD于点H，K．求证：EH=EK．

正确答案

解：∵HF为∠AFB的平分线，∴∠1=∠2．

∵ABCD为圆内接四边形，∴∠FCK=∠A．

∴∠1+∠A=∠2+∠FCK，

∴∠EHK=∠EKH．

∴EH=EK．

解析

解：∵HF为∠AFB的平分线，∴∠1=∠2．

∵ABCD为圆内接四边形，∴∠FCK=∠A．

∴∠1+∠A=∠2+∠FCK，

∴∠EHK=∠EKH．

∴EH=EK．

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题型：简答题

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简答题

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q

（1）求证：AC2=CQ•AB；

（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．

正确答案

（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，

又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，

因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，

所以△ACB∽△CQA，所以，

所以AC2=CQ•AB…（5分）

（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，

由AB=，BP=2得，PC=6，

AP为圆O的切线

又因为AQ为圆O的切线…（10分）

解析

（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，

又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，

因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，

所以△ACB∽△CQA，所以，

所以AC2=CQ•AB…（5分）

（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，

由AB=，BP=2得，PC=6，

AP为圆O的切线

又因为AQ为圆O的切线…（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，以△ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2．那么CD=______．

正确答案

解析

解：连结AE，OE，O是圆的圆心，因为AB是圆的直径，所以AE⊥BC，

又AF=3BF，EF⊥AB，所以△OBE是正三角形，BE=2EC=2．所以圆的半径为2，

AE==2，所以AC==，

CA与CB是圆的割线，所以CD•CA=CE•CB，

==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则MN的长为______．

正确答案

解：已知AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则OB=，

在△OBM中利用勾股定理：BM2=OB2+OM2 解得：BM=2

进一步求得：CM=1+，AM=-1

利用相交弦定理：BM•MN=CM•AM

即2MN=（+1）（-1）

解得：MN=1

解析

解：已知AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=，OM=1，则OB=，

在△OBM中利用勾股定理：BM2=OB2+OM2 解得：BM=2

进一步求得：CM=1+，AM=-1

利用相交弦定理：BM•MN=CM•AM

即2MN=（+1）（-1）

解得：MN=1

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题型：简答题

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简答题

（2015春•巫溪县期末）如图，过圆O外一点P引圆的两条割线分别交圆O于A、B、C、D四点．

（Ⅰ）若AC=AP，求证：BD=PD．

（Ⅱ）若PA=AB，PC=CD，求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵AC=AP，∴∠ACP=∠P，

∵∠ACP=∠B，

∴∠B=∠P，

∴BD=PD．

（Ⅱ）解：设PA=x，PC=y，则PB=3x，PD=2y，

由割线定理得3x2=2y2，∴=，

∴==．

解析

（Ⅰ）证明：∵AC=AP，∴∠ACP=∠P，

∵∠ACP=∠B，

∴∠B=∠P，

∴BD=PD．

（Ⅱ）解：设PA=x，PC=y，则PB=3x，PD=2y，

由割线定理得3x2=2y2，∴=，

∴==．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PA=PE，PB=9，PD=1，∠ABC=60°，则EC的长等于______．

正确答案

4

解析

解：∵PA是圆O的切线，

∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3

∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC

∴∠PAC=∠ABC=60°，

∵△ADE中，PE=PA，

∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3

∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2

∵圆O中，弦AC、BD相交于E，

∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4

故答案为：4．

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