弦切角的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD的长为______．

正确答案

解析

解：∵AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，

且PB=OB=3，PC切⊙O于点C，CD⊥AB于点D，

∴由切割线定理得PC2=PB•PA=27，

∴PC=3，

连结OC，则OC=OP，

∴∠P=30°，

∴CD=PC=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，CD交⊙O于点D、F．

（Ⅰ）求证：AB2=CF•CD；

（Ⅱ）若DF=CE，求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，

∴sin∠ACB==，

∴∠ACB=30°，

∴∠AOC=60°

∵OA=OB，∴∠ABC=30°，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC，

∵CA切圆O于A点，

∴由切割线定理得AC2=CF•CD，

∴AB2=CF•CD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AC=CE，AC2=CF•CD，DF=CE，

∴3DF2=CF•（CF+DF），

∴CF2-DF•CF-3DF2=0，

∴CF=DF

∴=．

解析

（Ⅰ）证明：∵C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CE=OE，

∴sin∠ACB==，

∴∠ACB=30°，

∴∠AOC=60°

∵OA=OB，∴∠ABC=30°，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AB=AC，

∵CA切圆O于A点，

∴由切割线定理得AC2=CF•CD，

∴AB2=CF•CD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）AC=CE，AC2=CF•CD，DF=CE，

∴3DF2=CF•（CF+DF），

∴CF2-DF•CF-3DF2=0，

∴CF=DF

∴=．

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题型：填空题

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填空题

如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=2，PB=4，则CD=______．

正确答案

2.4

解析

解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=2，PB=4，

∴PC2=PA•PB，

∴PA=1，AB=3，

∴圆的半径r=1.5，

连接OC．

∵OC=1.5，OP=2.5，

∴sin∠P=0.6，

∴CE=1.2，

∴CD=2.4．

故答案为：2.4．

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题型：简答题

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简答题

如图锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S=，求∠BAC的大小．

正确答案

解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

∴∠AEB=∠ACD，

∴△ABE∽△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE，

∵S=AB•ACsin∠BAC，且S=，

∴sin∠BAC=，

又∵∠BAC是三角形内角，

∴∠BAC=60°．

解析

解：∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

∴∠AEB=∠ACD，

∴△ABE∽△ADC，∴，即AB•AC=AD•AE，

∵S=AB•ACsin∠BAC，且S=，

∴sin∠BAC=，

又∵∠BAC是三角形内角，

∴∠BAC=60°．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．

正确答案

证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°

又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以，

因为AC=2AD，

所以BC=2OD．

解析

证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°

又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以，

因为AC=2AD，

所以BC=2OD．

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题型：简答题

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简答题

如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若∠AEB=30°，则∠PCE=______．

正确答案

解：如图，PE 是圆的切线，

∴∠PEB=∠PAC，

∵PC是∠APE的平分线，

∴∠EPC=∠APC，

根据三角形的外角与内角关系有：

∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°，

∴∠EDC=∠ECD=75°，

即∠PCE=75°，

故答案为：75°．

解析

解：如图，PE 是圆的切线，

∴∠PEB=∠PAC，

∵PC是∠APE的平分线，

∴∠EPC=∠APC，

根据三角形的外角与内角关系有：

∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°，

∴∠EDC=∠ECD=75°，

即∠PCE=75°，

故答案为：75°．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．

（Ⅰ）求∠AEC的大小；

（Ⅱ）求AE的长．

正确答案

解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，

所以：∠AOB=60°；

∵OA=OB

∴∠AB0=60°；

∵∠ABC=∠AEC

∴∠AEC=60°．

（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，

在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．

∵BD•DC=AD•DE，

∴DE=．

∴AE=DE+AD=．

解析

解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，

所以：∠AOB=60°；

∵OA=OB

∴∠AB0=60°；

∵∠ABC=∠AEC

∴∠AEC=60°．

（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，

在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．

∵BD•DC=AD•DE，

∴DE=．

∴AE=DE+AD=．

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题型：填空题

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填空题

如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=4，PB=8，则tan∠COP=______，△OBC的面积是______．

正确答案

解析

解：∵PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2=PA•PB，∴42=8PA，解得PA=2．

设圆的半径为R，

则2+2R=8，解得R=3．

在Rt△OCP中，=，．

∵∠BOC+∠COP=π，∴sin∠BOC=sin（π-∠COP）=．

∴==．

故答案分别为，．

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连结AC，若∠CAP=30°，则PC=______．

正确答案

3

解析

解：∵PC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥PC，得∠OCP=90°

∵△AOC中，AO=CO=3cm，∠A=30°

∴∠ACO=30°，∠AOC=120°

得∠ACP=120°，∠P=180°-（∠ACP+∠A）=30°

由此可得∠A=∠P=30°，得AC=CP

△AOC中，=，即，得AC=3

∴CP=AC=3，即PC=3

故答案为：3

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求直径AB的长．

正确答案

（1）证明：AB为直径，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAB=90°，

∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线．

（2）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，

∵AE•EB=CE•ED，∴6m2=30k2，得m=k．

连接DB，由△AEC∽△DEB，∴，∴BD=．

连接AD，由△CEB∽△AED，得．

在Rt△ABC，Rt△ADB中，BC2=25m2-64，AD2=25m2-80，于是有，

解得m=2，∴AB=AE+EB=10．

解析

（1）证明：AB为直径，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAB=90°，

∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线．

（2）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，

∵AE•EB=CE•ED，∴6m2=30k2，得m=k．

连接DB，由△AEC∽△DEB，∴，∴BD=．

连接AD，由△CEB∽△AED，得．

在Rt△ABC，Rt△ADB中，BC2=25m2-64，AD2=25m2-80，于是有，

解得m=2，∴AB=AE+EB=10．

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