热门试卷

（1）证明：连接AC，DB，则有∠ACP=∠ABD，∠APC=∠DPB，

∴△APC∽△DPB，

∴，

∴AP•PB=PD•PC；

（2）解：由（1）知，AP•PB=PD•PC，可得2×2=1×PC，

∴PC=4，

过O作OM⊥CD于点M，由圆的性质可知CM=2.5，

在△OMC中，d==．

解：（1）证明：∵AC⊥OB，∴∠AGB=90°；

又AD是⊙O的直径，∴∠DCA=90°；

又∵∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对的圆周角），

∴Rt△AGB∽Rt△DCA；

∴=；

又∵OG⊥AC，∴GC=AG；

∴=，即BA•DC=GC•AD．

（2）∵AC=12，∴AG=6；

∵AB=10，∴BG==8；

由（1）知，Rt△AGB～Rt△DCA，

∴=，

∴AD=15，即圆的直径2r=15，

∴OA=7.5．

解：设CD=x，则PD=x，PC=x，

由相交弦定理可得4×4=x×x，

∴x=10，即CD=10．

过O作CD的垂线，垂足为M，则MD=CD=5，

∴OM==，

∴三角形OCD的面积S===5．

证明：（1）∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，

∵AB为圆的直径，

∴∠BDA=90°，

∵AF⊥EP，

∴∠PFA=90°．

∴∠DBA=∠EGA，

∵∠PGD=∠EGA，

∴∠PDG=∠PGD，

∴PG=PD；

（2）连接BC，DC，则

∵AB为圆的直径，

∴∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△BDA≌Rt△ACB，

∴∠DAB=∠CBA，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠CBA，

∴DC∥AB，

∵AB⊥EP，

∴DC⊥EP，

∴∠DCE为直角，

∴ED为圆的直径，

∵AB为圆的直径，

∴AB=ED．

（Ⅰ）证明：由弦切角定理可知∠CDF=∠CAD

∵∠CDB=∠CAB，∠FDC=∠BDC

∴∠CAD=∠EAB

∵∠ACD=∠ABD

∴△CDA∽△BEA

∴

∴AB•AD=AC•AE；

（Ⅱ）解：连接OD，OB

在△BOD中，OD=OB=2，BD=2，

∴∠BCD=120°

∴∠CBD=∠BDC=∠CDF=30°

∴∠BFD=90°

在直角△BFD中，DF==

∴切线DF的长为．

证明：（1）∵AC•AF=AD•AE，

∴，

∵∠CAD=∠EAF，

∴△CAD∽△EAF，

∴∠ACD=∠AEF，

∴C、D、E、F四点共圆；

（2）由（1）可得∠ACD=∠AEF，

∵∠ACD=∠BED，

∴∠AEF=∠BED，

∴∠AEF=∠AEB，

∵AE=AE，∠BAE=∠FAE，

∴△AEB≌△AEF，

∴EB=EF，

∵△ACD∽△BED，

∴，

∴AC•DE=BE•CD

∴AC•DE=EF•CD．

解：连结BC，AB、CD相交于点E，设AE=x

∵直径AB垂直于弦CD，

∴CE=CD=，且CE2=AE•BE，可得x（6-x）=5

解之得x=5

∵Rt△ACE中，AE=5，CE=

∴由勾股定理，得AC==．

解：（1）因为=，所以∠BCD=∠ABC．

又因为EC与圆相切于点C，

故∠ACE=∠ABC

所以∠ACE=∠BCD．（5分）

（2）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，

所以△BDC～△ECB，

故．

即BC2=BE×CD．

由切割线定理可得EC2=EA×EB，

两式相除可得=．（10分）