弦切角的性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题

圆内接三角形ABC角平分线CE延长后交外接圆于F，若FB=2，EF=1，则CE=（　　）

A3

B2

C4

D1

正确答案

A

解析

解：由题意得：A、F、B、C四点共园，

根据圆周定理可得∠ABF=∠ACF．

又∵CE是角平分线，所以∠ACF=∠BCF．

∴△FCB∽△FBE，

∴FE：FB=FB：FC，

∵FB=2，EF=1，

∴FC=4，

∴CE=CF-FE=3．

故选A

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=，圆O的半径为3，求OA的长．

正确答案

解：连接OC，

∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB

∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．

又∵ED是圆O的直径，

∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°

∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC

∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD=∠EBC

∴△BCD∽△BEC，==，可得BC2=BE•BD…①

∵Rt△CDE中，tan∠CED==，

∴==，设BD=x，则BC=2x

代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2

∴OA=OB=BD+OD=5

解析

解：连接OC，

∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB

∵OC是圆O的半径，∴AB与圆O相切于C点．

又∵ED是圆O的直径，

∴∠ECD=90°，可得∠E+∠EDC=90°

∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC

∴∠BCD=∠E

又∵∠CBD=∠EBC

∴△BCD∽△BEC，==，可得BC2=BE•BD…①

∵Rt△CDE中，tan∠CED==，

∴==，设BD=x，则BC=2x

代入①，得（2x）2=x（x+6），解之得x=2

∴OA=OB=BD+OD=5

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题型：填空题

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填空题

如图．AB是圆O的弦，弦PQ平行于过点B的切线BT，AP的延长线交切线BT于点M，PA=3PM=6．∠PAB=30°．则∠QAB的度数为______；线段MB的长为______．

正确答案

30°

4

解析

解：∵弦PQ平行于过点B的切线BT，

∴

∴∠PAB=∠QAB

∵PAB=30°，∴∠QAB=30°

∵过点B的切线BT，AP的延长线交切线BT于点M，

∴MB2=MP•MA

∵PA=3PM=6

∴MB2=MP•MA=2×8=16

∴MB=4

故答案为：30°，4．

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题型：填空题

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填空题

已知圆的直径AB=13cm，C是圆周上一点（不同于A，B点）CD⊥AB于D，CD=6cm，则BD=______

正确答案

4cm或9cm

解析

解：延长CD交圆于另一点E，

由垂径定理我们易得：CD=DE=6cm，

则BD•AD=CD•DE=36

又由BD+AD=AB=13

解得：BD=4或BD=9

即BD=4cm或9cm

故答案为：4cm或9cm

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题型：简答题

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简答题

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．

正确答案

解：因为圆O与AC切于点D，由切割线定理得

AD2=AE•AB，即22=AB，∴AB=4．（4分）

设CD=x，则CB=x，

在直角三角形ABC中，x2+42=（x+2）2，

解之得x=3．（10分）

解析

解：因为圆O与AC切于点D，由切割线定理得

AD2=AE•AB，即22=AB，∴AB=4．（4分）

设CD=x，则CB=x，

在直角三角形ABC中，x2+42=（x+2）2，

解之得x=3．（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，A是⊙O上的点，PC与⊙O相交于B、C两点，点D在⊙O上，CD∥AP，AD与BC交于E，F为CE上的点，若∠EDF=∠P，AE=12，ED=6，EF=4，则PB=______．

正确答案

10

解析

解：∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，

∴△DEF∽△PEA．

∴DE：PE=EF：EA．

即EF•EP=DE•EA．

∵AE=12，ED=6，EF=4，

∴4•EP=72，

∴EP=18，

∵CD∥AP，

∴，

∴EC=9，

∵弦AD、BC相交于点E，

∴DE•EA=CE•EB，

∴EB=8，

∴PB=EP-EB=10．

故答案为：10．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：

（1）AB•AC=AE•AD；

（2）∠FAE=∠FAD．

正确答案

证明：（1）连接BE，则∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，

∴△ABE∽△ADC，∴．

∴AB•AC=AE•AD．

（2）连接OF，∵F是的中点，∴∠BAF=∠CAF．

由（1）得∠BAE=∠CAD，

∴∠FAE=∠FAD．

解析

证明：（1）连接BE，则∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，

∴△ABE∽△ADC，∴．

∴AB•AC=AE•AD．

（2）连接OF，∵F是的中点，∴∠BAF=∠CAF．

由（1）得∠BAE=∠CAD，

∴∠FAE=∠FAD．

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题型：填空题

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填空题

如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=______．

正确答案

4

解析

解：∵QA是⊙O的切线，

∴QA2=QC•QD，

∵QC=1，CD=3，

∴QA2=4，

∴QA=2，

∴PA=4，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PB=PA=4．

故答案为：4．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）

如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠BPC的值为______．

正确答案

解析

解：如图所示，连接AD．

由△CDP∽△BAP，得=．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

∴cos∠DPA==．

又∵∠BPC=∠DPA，

∴．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径．若AB=6，AC=5，AD=4，则图中与∠BAE相等的角是______，AE=______．

正确答案

∠CAD

解析

证明：∵AE是△ABC的外接圆直径，

∴∠ABE=90°．

∴∠BAE+∠E=90°．

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC=90°．

∴∠CAD+∠ACB=90°．

∵∠E=∠ACB，

∴∠BAE=∠CAD．

连接BE，由于∠BEA=∠ACB，且三角形ABE是直角三角形．

sin∠BEA=sin∠ACB=．

故⊙O的直径AE===．

故答案为：∠CAD，．

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