弦切角的性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．

（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC

（Ⅱ）若EH=BE=a，求AH．

正确答案

解：（I）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，

∴=，可得∠DBC=∠BCD，

又∵BE与圆O相切于点B，

∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；

（II）∵AB为圆O的直径，∴BD⊥AD，

又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，

∵EH=BE=a，∴△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°，

因此Rt△ABE中，cos∠E==，可得AE=2BE=2a，

∴AH=AE-EH=a．

解析

解：（I）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，

∴=，可得∠DBC=∠BCD，

又∵BE与圆O相切于点B，

∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；

（II）∵AB为圆O的直径，∴BD⊥AD，

又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，

∵EH=BE=a，∴△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°，

因此Rt△ABE中，cos∠E==，可得AE=2BE=2a，

∴AH=AE-EH=a．

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题型：填空题

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填空题

过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA=8cm，PC=4cm，则PD的长为______．

正确答案

3.2

解析

解：连接AO，∵PA为圆的切线，∴△PAO为Rt△，∴82+r2=（r+4）2，

∴r=6．

又CD垂直于PA，∴OA∥CD，∴，

解得PD=3.2．

故答案为：3.2．

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F．若CD=，则AB=______，EF=______．

正确答案

3

解析

解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．

∴CD2=AD•DB．

∵AD=2DB，∴CD2=2DB2，

∵，∴DB=1，

∴AB=AD+DB=3．

∵E为AD的中点，∴ED=1．

在Rt△CDE中，=．

由相交弦定理可得：EA•EB=EC•EF，

∴1×2=EF，

∴．

故答案分别为3，．

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB为（　　）

A2

B

C4

D

正确答案

C

解析

解：连接BC，设圆的直径是x

则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，

∴BC=AB，

三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=AB，

∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，

∴PC2=PB•PC=x•x=x2，

∵PC=2 ，

∴x=4，则⊙O的直径AB为4．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2．

（Ⅰ）求DE的长；

（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．

正确答案

解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，

∴DH=HE，

∴DH2=AH•BH=（10-2）×2=16，

∴DH=4，

∴DE=2DH=8；

（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，

∴PC2=PD•PE，

即（2）2=PD•（PD+8），

∴PD=2．

解析

解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，

∴DH=HE，

∴DH2=AH•BH=（10-2）×2=16，

∴DH=4，

∴DE=2DH=8；

（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，

∴PC2=PD•PE，

即（2）2=PD•（PD+8），

∴PD=2．

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题型：填空题

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填空题

如图，AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切于M，AD垂直CD于D，BC⊥CD于C，MN⊥AB于N，又AD=3，BC=1，则MN=______．

正确答案

解析

解：连接AM，OM，BM，则

因为直线CD与圆O相切于M，

所以∠CMB=∠MAM，

因为AB为圆O的直径，MN⊥AB，

所以∠NMB=∠MAM，

所以∠CMB=∠NMB，

因为BC⊥CD于C，MN⊥AB，

所以△CMB≌△NMB，

所以CM=NM，

因为直线CD与圆O相切于M，AD垂直CD于D，BC⊥CD于C，AD=3，BC=1，

所以OM=2，

所以AB=4，

所以CD==2，

所以CM=

所以MN=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）

如图，AD为圆O直径，BC切圆O于点E，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=4，DC=1，则AD等于______．

正确答案

5

解析

解：连接OE，∵BC切圆O于点E，

∴OE⊥BC．又∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴AB∥OE∥DC，又O是AD中点，

∴OE=（AB+DC），

∴AD=2OE=5．

故答案为：5．

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题型：单选题

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单选题

如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA=AC=AB，则以下结论不正确的是（　　）

ACB=CP

BPC•AC=PA•BC

CPC是圆O的切线

DBC2=BA•BP

正确答案

D

解析

解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°

又∵AC=AB，∴∠B=30°，可得∠CAB=60°且BC=AB

∵PA=AC=AB，

∴△PAC用余弦定理，

得PC==AC=AB，

即BC=PC，得A正确；

∵PA=AC，BC=PC，∴PC•AC=PA•BC，得B正确；

连接OC，可得

∵等腰△PAC中，∠PCA=30°且等边△ACO中，∠ACO=60°

∴∠OCP=90°，可得PC⊥OC，所以PC是圆O的切线，故C正确；

根据切割线定理，得BC2=PC2=PA•PB≠BA•BP，故D不正确．

故选：D

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB、AC、CE是圆的弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，且=，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为______．

正确答案

解析

解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，

在△ABD中，=，

∴CF∥BD，

∴AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，

∴BD=，

设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，

∴x=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•苏州期末）如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．

（I）求证：∠EAC=2∠DCE；

（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．

因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．

所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．

因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）

（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．

因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．

由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（ AE-AB），即

AB2+2 AB-4=0，解得AB=-1．…（10分）

解析

（Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．

因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．

所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．

因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）

（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．

因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．

由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（ AE-AB），即

AB2+2 AB-4=0，解得AB=-1．…（10分）

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