弦切角的性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是⊙O的直径，∠ADC=30°，OA=2，则BC长为（　　）

A2

B4

C

D

正确答案

C

解析

解：∵⊙O中，∠ADC与∠ABC所对的弧都是AC弧，

∴∠ABC=∠ADC=30°，

又∵AB是⊙O的直径，OA=2，

∴AC⊥BC，可得AC==OA=2，

根据勾股定理，得BC==

故选：C

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题型：填空题

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填空题

如图：AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=18，则△ABC的周长为______．

正确答案

36

解析

解：∵AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，

∴AD=AE，BD=BF，CE=CF，

∴△ABC的周长为AB+BF+CF+AC=AB+BD+AC+CE=AD+AE=2AD=36．

故答案为：36．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，则的值为______．

正确答案

解析

解：连接OD，BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，

∴OD⊥BC，

∴G为BC的中点，即BG=CG，

又∵=，

∴设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC==4k，

∴OB=AB=，BG=BC=2k，

∴OG==，

∴DG=OD-OG=-=k，

又四边形CEDG为矩形，

∴CE=DG=k，

∴AE=AC+CE=3k+k=4k，

而OD∥AE，

∴===．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，△ABC中，∠ACB=90°，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与⊙O交于点D，连结AD并延长交BC于P，已知AE=EB=4，AD=5，求AP的长．

正确答案

解：连接EF，则∠AEF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴B，C，F，E四点共圆，

∴∠AFE=∠B，

∵∠ADE=∠AFE，

∴∠ADE=∠B，

∴B，P，D，E四点共圆，

∴AE•AB=AD•AP

∵AE=EB=4，AD=5，

∴AP=．

解析

解：连接EF，则∠AEF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴B，C，F，E四点共圆，

∴∠AFE=∠B，

∵∠ADE=∠AFE，

∴∠ADE=∠B，

∴B，P，D，E四点共圆，

∴AE•AB=AD•AP

∵AE=EB=4，AD=5，

∴AP=．

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点P，，则∠DCB=______．

正确答案

45°

解析

解：由相交弦定理可得：CP•PD=AP•PB，∴=7．

∴直径2R=AP+PB=1+7=8，∴半径R=4．∴OP=OA-AP=4-1=3．

连接DO，在△ODP中，OP2+OD2=32+42=52=PD2，

∴∠POD=90°．

连接BD，由等腰直角△DOB可得：．

由正弦定理可得：，∴，

由图可知：∠DCB为锐角，∴∠DCB=45°．

故答案为45°．

1

题型：简答题

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简答题

如图，BA是⊙O的直径，AD⊥AB，点F是线段AD上异于A、D的一点，且BD、BF与⊙O分别交于点C、E．求证：．

正确答案

证明：连接AC，EC，

∵∠BAC+∠ABC=90°，∠ABC+∠FDB=90°，

∴∠BAC=∠FDB，

又∠BAC=∠BEC，∴∠BEC=∠FDB

又∠CBE=∠FBD，∴△BCE∽△BFD，

∴…（10分）

解析

证明：连接AC，EC，

∵∠BAC+∠ABC=90°，∠ABC+∠FDB=90°，

∴∠BAC=∠FDB，

又∠BAC=∠BEC，∴∠BEC=∠FDB

又∠CBE=∠FBD，∴△BCE∽△BFD，

∴…（10分）

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题型：简答题

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简答题

如图所示，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN交AD的延长线于点C，BM=MN=NC，AB=2，求CD的长和⊙O的半径．

正确答案

解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O切线，A为切点，

⊙O上有两点M、N，直线BMN交AD的延长线于点C，BM=MN=NC，AB=2，

∴AB2=BM•BM=2BM2，

即4=2BM2，解得BM=MN=CN=，∴BC=3

∴AC==，

由切割线定理，知：CD•CA=CN•CM，

即CD=，解得CD=，

∴⊙O的半径r=（-）=．

解析

解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O切线，A为切点，

⊙O上有两点M、N，直线BMN交AD的延长线于点C，BM=MN=NC，AB=2，

∴AB2=BM•BM=2BM2，

即4=2BM2，解得BM=MN=CN=，∴BC=3

∴AC==，

由切割线定理，知：CD•CA=CN•CM，

即CD=，解得CD=，

∴⊙O的半径r=（-）=．

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，C为圆上任意一点，过C点做圆的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q点，则CP•CQ=______．

正确答案

4

解析

解：连接OP，OQ，

∵PA，PC为圆O的切线，

∴PA=PC

在△OAP和△OCP中

∵PA=PC，OP=OP，OA=OC

∴△OAP≌△OCP

∴∠AOP=∠COP

同理，∠COQ=∠BOQ

∴∠POQ=90°

∵OC⊥PQ

∴△OCP∽△QCO

∴

∴CP•CQ=OC2

∵AB=4，

∴OC=2

∴CP•CQ=4

故答案为：4

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图所示，AB，CD是半径为2的圆O的两条弦，它们相交于P，且P是AB的中点，PD=，∠OAP=30°，则CP=______．

正确答案

解析

解：在Rt△OAP中，OA=2，∠OAP=30°，AP=OA•cos30°=．

由相交弦定理可得PA•PB=PC•PD，∴==．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．

（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；

（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

正确答案

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD

∵∠ABD=∠ECD

∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC

∴△BCD∽△CED

∴

∴CD2=DE•DB．

（II）解：设⊙O的半径为R

∵D是弧AC的中点

∴OD⊥AC，设垂足为F

在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=

在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2

∴

∴R2-R-6=0

∴（R-3）（R+2）=0

∴R=3

解析

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD

∵∠ABD=∠ECD

∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC

∴△BCD∽△CED

∴

∴CD2=DE•DB．

（II）解：设⊙O的半径为R

∵D是弧AC的中点

∴OD⊥AC，设垂足为F

在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=

在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2

∴

∴R2-R-6=0

∴（R-3）（R+2）=0

∴R=3

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