- 平面与圆柱面的截线
- 共757题
如图所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.
求证：AE·AC＝AF·DE.
正确答案
见解析
证明 连接BD，因为AB∥CD，所以BD＝AC.
因为A、B、D、F四点共圆，所以∠EBD＝∠F.
因为∠E为△EBD和△EFA的公共角，
所以△EBD∽△EFA.
所以
所以
即AE·AC＝AF·DE.
若两条直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0，(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a＝________.
正确答案
1或－1
由圆内接四边形的性质，知(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，整理得a2＝1，∴a＝±1.
（本题满分10分）如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.
（1）求证：△DFE∽△EFA；
（2）如果EF=1，求FG的长.
正确答案
（1）见解析；（2）见解析.
（1）在已有一个公共角∠DFE=∠EFA情况下，关键再证∠DEF=∠FAB即可.
(2) ∵△DFE∽△EFA，∴
∵FG切圆于G，∴FG2=FA·FD.到此问题基本得到解决.
（1）证明 ∵EF∥CB，
∴∠DEF=∠DCB.
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DEF=∠DAB.
∵∠DFE=∠EFA，
∴△DFE∽△EFA.
（2）∵△DFE∽△EFA，∴
∴EF2=FA·FD.
∵FG切圆于G，∴FG2=FA·FD.
∴EF2=FG2.∴EF=FG.∵EF=1，∴FG=1.
选修
如图，
（1）求证：
（2）若
正确答案
（Ⅰ）连接OD，可得
又
（Ⅱ）过D作
设
由
又
略
如下图所示，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，CM延长线交AB于N，AB＝24 cm，则AN＝________ cm.
正确答案
8
略
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