热门试卷

21（I）解:f′(x)=ex+(x-2)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)

(1)a≥0,ex+2a>0 x∈(-∞,1)时f′(x)<0, x∈(1,+∞)时f′(x)>0

f(x)在(-∞,1)减f(x)在(1，+∞)增

（2）a<0时令f′(x)=0 则x1=1, x2=ln(-2a)

1°若ln(-2a)>1 即 a<-𝑒2时x∈(-∞,1)时f′(x)>0, x∈(1,ln(-2a)时f′(x)<0;

x∈(ln(-2a),+∞)时f′(x)>0

∴f(x)在（-∞，1）增

2°若ln(-2a)=1 即a=−𝑒2时 f′(x)=(x-1)(𝑒𝑥=𝑒) ∴x≠1时f′（x）>0

∴f(x)在（-∞，+∞）上递增；

3°若ln(-2a)<1 即- 𝑒20，x∈(ln(-2a),1)时f′(x)<0,

x∈(1,+∞)时f′(x)>0

∴若- 𝑒2

在（1，+∞）上递增;

在（ln(-𝑎2),1)）上单调递减

（II）解：由①知

若a≥0  f(x)在(-∞,1)减，（1，+∞）增，且f(1)=-e<0.

x→+∞时，f(x) →+∞，x→-∞时，f(x) →+∞

∴一定有2个零点；

若a<-时，f(x) 在（-∞，1）内递增，（1，ln(-2a)）内递减，（ln(-2a),+ ∞）递增

且f(1)=-e<0    f(x)只有一个零点；

若a=-时   f(x)在R上递增，则f(x)只有一个零点；

若0>a>-时，f(x)在（-∞，ln(-2a)）增，（ln(-2a),1）减，（1，+∞）增

∵f(1)=-e<0   x→+∞时，f(x)→+∞，x→-∞时f(x) →-∞

∴f(x)在（1，+∞）内只有一个零点，f(x)若恰有2个零点，只能使f(ln(-2a)=0

而[ln(-2a)-2]·(-2a)+a[ln(-2a)-1]2=0

即须4-ln(-2a)+[ln(-2a)-1]2=0* ∵-<a<0   ∴ln(-2a)<1

∴4-ln(-2a)>0,[ln(-2a)-1]2>0  ∴*不可能为0

综上f(x)有2个零点  a的范围为[0,+ ∞]