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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(  )

A(2,+∞)

B(1,+∞)

C(-∞,-2)

D(-∞,-1)

正确答案

C

解析

当a=0时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意,故a≠0.

由f′(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=.

若a<0,则函数f(x)的极大值点为x=0,且f(x)极大值=f(0)=1,极小值点为x=,且f(x)极小值=f=,此时只需>0,即可解得a<-2;

若a>0,则f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意。

综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2)。

知识点

诱导公式的推导
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

设集合,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若A∩B≠,则实数m的取值范围是________.

正确答案

解析

由A≠可知m2,解得m≤0或m≥.

由题意知,若A∩B≠

则有(1)当2m+1<2,即m<时,

圆心(2,0)到直线x+y=2m+1的距离为d1≤|m|,

化简得2m2-4m+1≤0,

解得1-≤m≤1+

所以1-≤m<.

(2)当2m≤2≤2m+1,即≤m≤1时,A∩B≠恒成立。

(3)当2m>2,即m>1时,

圆心(2,0)到直线x+y=2m的距离为d2≤|m|,

化简得m2-4m+2≤0,

解得2-≤m≤2+

所以1<m≤2+.

综上可知:满足题意的m的取值范围为

.

知识点

诱导公式的推导
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,则概率P(AB)==(结果用最简分数表示)

正确答案

解析

考查互斥事件概率公式  P(AB)=

知识点

诱导公式的推导
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),

(1)求新桥BC的长;

(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

正确答案

见解析。

解析

解法一:

如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60),C(170, 0),

直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.

又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.

设点B的坐标为(a,b),则k BC=

k AB=

解得a=80,b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)。

由条件知,直线BC的方程为,即

由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,

.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以解得

故当d=10时,最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大。

知识点

诱导公式的推导
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

不等式的解集是         。

正确答案

(-4,2)

解析

考查分式不等式的解法等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2

知识点

诱导公式的推导
下一知识点 : 诱导公式的作用
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