- 机械能守恒定律
- 共8461题
是竖直平面内的四分之一圆弧轨道,在下端B与水平直轨道相切,如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R,小球的质量为m,不计各处摩擦。求:
(1)小球运动到B点时的动能;
(2)小球下滑到距水平轨道的高度为R时的速度大小和方向;
(3)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时,所受轨道支持力NB、NC各是多大?
正确答案
解:(1)根据机械能守恒Ek=mgR
(2)根据机械能守恒ΔEk=ΔEp
mv2=
mgR
小球速度大小v=,速度方向沿圆弧的切线向下,与竖直方向成30°
(3)根据牛顿运动定律及机械能守恒,在B点
NB-mg=m,mgR=
mvB2
解得 NB=3mg,在C点:NC=mg
如图所示,位于竖直平面上的圆弧形光滑轨道,半径为R=0.2m,OB沿竖直方向,圆弧轨道上端A距地面高度为H=0.4m,质量为m=2kg的小球从A点由静止释放,经过B点,最后落在地面上的C点处.不计空气阻力,重力加速度取g=10m/s2.求:
(1)小球刚运动到B点时,速度为多大?
(2)小球刚运动到B点时,对圆弧轨道的压力多大?
(3)小球落地点C与B的水平距离S为多大?
正确答案
(1)设小球经过B点时的速度大小为vB,对小球从A到B的过程,由机械能守恒得:
mgR=mvB2
解得:vB=2m/s
(2)在B点根据向心力公式得:
N-mg=m
解得:N=60N
根据牛顿第三定律得:小球对圆弧轨道的压力为60M
(3)小球从B点抛出后做平抛运动,则有:
t==0.2s
则s=vBt=0.4m
答:(1)小球刚运动到B点时,速度为2m/s;
(2)小球刚运动到B点时,对圆弧轨道的压力为60N;
(3)小球落地点C与B的水平距离S为0.4m.
如图所示,在高为15m的光滑平台上,有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上,球与墙间有一被压缩的轻弹簧.当烧断细线后,小球从平台上弹出,落地时的速率为18m/s,则细线被烧断前弹簧具有多大的弹性势能?(取g=10m/s2,不计空气阻力作用)
正确答案
小球从初位置到落地时,只有弹簧弹力和重力做功,系统的机械能是守恒,
选取地面为零势能面,根据机械能守恒定律得:E1=E2
即:0+mgh+EP弹=0+EK
EP弹=×2×182-2×10×15=24J.
答:细线被烧断前弹簧具有的弹性势能是24J.
如图所示,有一根轻杆AB,可绕O点在竖直平 面内自由转动,在AB两端分别固定有质量为m和2m的小球,OA和OB的长度相等,都等于a.开始时,AB静止在水平位置,释放后,AB杆转到竖直位置时,求:
(1)A、B两端小球总的重力势能减少多少?
(2)A、B两端小球的速度大小各是多少?
(3)如果杆从水平位置转至竖直位置时A球对杆的压力恰好为零,那么A、B两球的质量之比是多少?
正确答案
(1)以水平位置为零势能面,则初位置的重力势能为零,末位置的重力势能为:EP=EPA+EPB=mga-2mga=-mga
所以A、B两端小球总的重力势能减少mga
(2)AB的角速度相等,根据v=ωr可知AB的线速度也相等,根据机械能守恒定律得:
-△EP=△EK
×3mv2=mga
解得:
vA=vB=
(3)对A进行受力分析,根据向心力公式得:
mAg=mA
解得:vA=
根据机械能守恒定律得:
(mA+mB)vA2=mAga-mBga
解得:=
答:(1)A、B两端小球总的重力势能减少mga,
(2)A、B两端小球的速度大小都为
(3)如果杆从水平位置转至竖直位置时A球对杆的压力恰好为零,那么A、B两球的质量之比是1:3.
如图所示,ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道,其中ABC的末端水平,DEF是半径为r=0.4m的半圆形轨道,其直径DF沿竖直方向,C、D可看作重合。现有一质量m=0.1kg,可视为质点的小球从轨道ABC上的A点由静止释放,若小球经C处后恰能沿轨道DEF做圆周运动(取g=10m/s2),求:
(1)小球释放点A距C点的竖直高度H;
(2)小球到达F点时对轨道的压力是多大?
正确答案
解:(1)小球从ABC轨道下滑,机械能守恒,设到达C点时的速度大小为v。则:
小球恰能在竖直平面内做圆周运动,在圆周最高点必须满足:
解得:
(2)小球由A到F,由机械能守恒有:
在F点,对小球,由牛顿第二定律:
解得:
由牛顿第三定律得,小球对轨道的压力为
如图所示,斜面倾角θ=30°,另一边与地面垂直,高为H,斜面顶点有一定滑轮,物块A和B的质量分别为m1和m2,通过轻而软的细绳连结并跨过定滑轮,开始时两物块都位于与地面的垂直距离为H/2的位置上,释放两物块后,A沿斜面无摩擦地上滑,B沿斜面的竖直边下落,若物块A恰好能达到斜面的顶点,试求m1和m2的比值。(滑轮质量、半径及摩擦均可忽略)
正确答案
解:下落过程中,对系统由机械能守恒定律有:
2=1
sinθ+
(1+2)2
以后对上升至顶点过程由动能定理有:
12=1(
-
sinθ)
=
如图所示,物体A、B通过定滑轮以细绳相连,已知两物体的质量mA>mB,使两物体A、B位于同一水平面,当它们离地面的高度为h时,由静止开始释放,若不计滑轮质量及一切阻力,求当A被释放后,物体B能上升的最大距离.
正确答案
A下降,B上升的过程,以AB组成的系统为研究对象,由于只有重力做功,系统的机械能守恒,设A落地时的速度大小为v,根据系统机械能守恒定律得:
mAgh=mBgh+(mA+mB)v2…①
A落地后,B上升的过程,设B继续上升的最大高度为h′,根据机械能守恒得:
mAgh′=mAv2②
由①②得:h′=h
故物体B能上升的最大距离 H=h+h′=h
答:物体B能上升的最大距离为h.
如图所示,固定的光滑圆弧轨道ABC的半径为0.8m,A点与圆心O在同一水平线上,圆弧轨道底端B点与圆心在同一竖直线上.C点离B点的竖直高度为0.2m,物块从轨道上的A点由静止释放,滑过B点后进入足够长的水平传送带,传送带由电动机驱动按图示方向运转,不计物块通过轨道与传送带交接处的动能损失,物块与传送带间的动摩擦因数为0.1,g取10m/s2.
(1)求物块从A点下滑到B点时速度的大小;
(2)若物块从A点下滑到传送带上后,又恰能返回到C点,求物块在传送带上第一次往返所用的时间.
正确答案
(1)由机械能守恒定律得mgr=mvB2
解得vB==4m/s;
(2)物块先在传送带上做匀减速直线运动,运动时间为t1==
=4s
通过的位移为x1==
=8m;
物块再在传送带上做匀加速直线运动,其末速度由mgh=mv12
解得v1==2m/s
则匀加速直线运动的时间为t2==
=2s
通过的位移为x2==
=2m
然后再做匀速运动,通过的位移为x3=x1-x2=8-2=6m
匀速运动的时间为t3==
=3s
所以物块在传送带上第一次往返所用的时间为t=t1+t2+t3=4+2+3=9s
答:(1)物块从A点下滑到B点时速度的大小为4m/s;
(2)物块在传送带上第一次往返所用的时间为9s.
如图,在半径为r的轴上悬挂一个质量为M的水桶p,轴上分布着6根手柄,柄端有6个质量为m的金属小球.球离轴心的距离为l,轮轴、绳及手柄的质量以及摩擦均不计.开始时水桶p在离地面某高度处,释放后水桶p带动整个装置转动,当转动n周后,水桶恰好到达地面并停在地面不跳起,而绳继续释放.当绳释放完后,由于惯性,继续转动着的轮轴再次把绳绕在筒上,从而又把重物从地面提升起来.
求:(1)转动n周后水桶p的速率v;
(2)重物提升起的最大高度h.
正确答案
(1)设水桶p着地时的速度为v,小球转动的线速度为vˊ,
=
①
根据机械能守恒定律,有:
Mgn2πr=Mv2+6×
mv2②
由①②得,
v=③
(2)水桶p着地后,由于惯性,轮轴继续转动,先把绳子放松,以后再次把绳绕在筒上,从而又把重物从地面提升起来.在这过程中,6个小球的动能全部转化为水桶p的重力势能.
6×mv2=Mgh④
由①①④得,
h=
答:
(1)转动n周后水桶p的速率v为;
(2)重物提升起的最大高度h为.
如图,一倾角为30°的光滑斜面,底端有一与斜面垂直的固定档板M,物块A、B之间用一与斜面平行轻质弹簧连结,现用力缓慢沿斜面向下推动物块B,当弹簧具有5J弹性势能时撤去推力,释放物块B;已知A、B质量分别为5kg、2kg,弹簧的弹性势能表达式为EP=kx2,其中k为弹簧的劲度系数,大小为1000N/m,x为弹簧形变量.(g取10m/s2)
(1)求当弹簧恢复原长时,物块B的速度;
(2)试判断在B上升过程中,能否将A 拉离档板?若能,请计算A刚离开档板时B的动能;若不能,请计算B在最高点处的加速度.
正确答案
(1)由EP=kx2得,刚撤去推力时,弹簧的压缩量x1=0.1m…①
弹簧恢复原长的过程中,物块B和弹簧组成的系统机械能守恒,
由EP=mBgx1sinθ+mBv2…②得
v=2m/s…③
(2)假设A能被拉离挡板,在A刚被拉离时,有弹簧弹力F=mAgsinθ…④
结合F=kx2,此时弹簧伸长量x2=0.025m…⑤
此时弹性势能EP=0.3125J…⑥
相对于弹簧原长处重力势能增量为△EP=mBg△h=0.25J…⑦
因为弹簧处于原长时物块B的动能Ek0=mBv2=4J…⑧
由于Ek0>EP+△EP,所以能将物块A 拉离档板,且此时物块B的动能为:Ekt=Ek0-EP-△EP,得Ekt=3.44J…⑨
答:
(1)当弹簧恢复原长时,物块B的速度为2m/s;
(2)在B上升过程中,能将物块A拉离档板,且此时物块B的动能为3.44J.
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