- 机械能守恒定律
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一小物块以速度v0="10" m/s沿光滑地面滑行,然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上并由高台上飞出,如图7-7-17所示.问高台的高度多大时,小物块飞行的水平距离s最大?这个距离是多少?(g取10 m/s2)
图7-7-17
正确答案
2.5 m 5 m
物体从滑上高台到从高台上飞出的过程中机械能守恒,设物体从高台上飞出的速度为v,则由机械能守恒定律可得:
所以v=
由平抛运动规律可知s=
即s=
=
=
由上式可知,当h=
即h=
如图7-7-14所示，把质量为0.2 kg的小球放在竖直站立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示，迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态(图乙).已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略.
图7-7-14
(1)说出由状态甲至状态丙的能量转化情况，状态甲中弹簧的弹性势能是多少?
(2)说出由状态乙至状态丙的能量转化情况，状态乙中小球的动能是多少?
正确答案
(1)0.6 J (2)0.4 J
(1)由状态甲至状态丙的过程中，系统的弹性势能逐渐减少，动能和重力势能逐渐增大，当弹簧对小球向上的弹力大小与重力大小相等时，物体的动能达到最大.之后，弹性势能和动能逐渐减少，重力势能逐渐增加，当弹簧恢复到自然长度时，弹性势能为零.之后，重力势能仍逐渐增加，动能逐渐减少，到达C点时，动能减少到零，重力势能达到最大.
小球重力势能的增加ΔEp=mghAC="0.2×10×0.3" J="0.6" J，所以状态甲时弹簧的弹性势能Ep′=ΔEp="0.6" J.
(2)小球从状态乙到状态丙的过程中，动能逐渐减少，重力势能逐渐增加.小球在状态乙时的动能等于小球从B至C的过程中重力势能的增加，即EkB=mghCB="0.2×10×0.2" J="0.4" J.
如图7-7-6所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体且竖直放置，右管口用盖板A密封一部分气体，左管开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h.现拿去盖板，液柱开始流动，不计水的粘滞阻力，当两侧管内液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为________.
图7-7-6
正确答案
两侧管内液面恰好相齐时，等效于将管右侧上方h/2的液柱移至左管的上方.由于不计水的粘滞阻力，所以管内液体流动时，机械能守恒.设水的密度为ρ，管的截面积为S，则有ρS·
解得右侧液面下降的速度v=
如图7-6-10所示，在一个很长的斜面上的某处A，水平抛出一个物体.已知物体抛出时的动能为1.5 J，斜面的倾角θ=30°.空气阻力不计，求它落到斜面上B点时的动能.
图7-6-10
正确答案
3.5 J
设物体的质量为m，初速度为v0，A、B两点的高度差为h，水平距离为s，则
h=stan30°
由平抛运动规律可得h=
解得h=
以B点所在平面为参考平面，根据机械能守恒定律得EkB=
则EkB=
用如图所示的装置做“探究机械能守恒定律”实验时，如果认为g="10" m／s2，打点计时器打点周期为T="0.02" s，则
（1）关于纸带的第一点和第二点的距离大小及形成的原因，下列说法中正确的是(不考虑阻力影响)
（2）该同学已经测得纸带上所打出的各点与打出的第一点即O的距离，并列入下表：
为了尽量准确地测出打D点时重锤的运动速度，他应采用的计算公式是 ，计算的结果是
正确答案
（1）AC
（2）
（1）不考虑阻力影响时，重物做自由落体运动，根据运动学公式h＝gt２／2可知，如打下第一个点时纸带的速度为零，则第一个点与第二个点的距离为2ｍｍ，如果先打点后放纸带，则打下第一个点时纸带的速度肯定为零，打下第二个点时重物下落的时间ｔ≤0.02 s，两点间的距离s≤2ｍｍ；如第一个点与第二个点的距离大于2ｍｍ，则表明打下第一个点时纸带的速度不为零，即先放纸带后打点，A、C正确。
（2）实验时，由于不可避免的存在阻力，所以不能用运动学公式
某实验小组利用如图甲所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒．
（1）实验前需要调整气垫导轨底座使之水平．
（2）如图乙所示，用游标卡尺测得遮光条的宽度d=______cm，实验时将滑块从图示位置静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间△t=1.2×10-2s，则滑块经过光电门时的瞬时速度为______m/s；在实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、______和______（文字说明并用相应的字母表示）．
（3）本实验通过比较______和______在实验误差允许的范围内相等（用测量的物理量符号表示），从而验证了系统的机械能守恒．
正确答案
（2）主尺：4mm，游标尺：对齐的是8，所以读数为：8×0.1=0.8mm，故遮光条宽度d=4.8mm=0.48cm，
v=
（3）设遮光条前进了s，钩码的重力势能减少了：mgs，系统动能增加了：
所以我们可以通过比较mgs和
需要测量的物理量有：滑块上的遮光条初始位置到光电门的距离s，滑块的质量M
故答案为：（2）0.48；0.4；滑块上的遮光条初始位置到光电门的距离s；滑块的质量M
（3）mgs，
如图7-7-16所示，光滑圆管轨道ABC，其中AB部分平直，BC部分是处于竖直平面的、半径为R的半圆.圆管截面的半径r<
图7-7-16
(1)若要小球能从C端出来，初速度v0需多大？
(2)在小球从C端出来的瞬间，对管壁作用力有哪几种典型情况？初速度v0各应满足什么条件？
正确答案
(1)v0>
(2)当v0=
当v0>
当
小球在细圆管内的运动过程中，因管道光滑，不受摩擦力作用，所受轨道的弹力与运动方向垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒.
(1)要使小球能从C端出来，则小球到达C点时速度vc应不为零.对小球从A至C运动过程应用机械能守恒定律得
因vC≠0，有mg·2R<
故初速度须满足v0>
(2)小球经过C点受重力mg和细圆管的弹力FN，根据牛顿第二定律得
FN+mg=
由①③式得FN=
讨论④式可得：
a.若FN=0，则v0=
b.若FN>0,则v0>
c.FN<0(即小球要受到下侧壁竖直向上的支持力)，则结合②式需满足
在水平地面处，以30m/s的初速度竖直向上抛出一个小球，不计阻力．求：
（1）球距地面多高处，它的重力势能是动能的2倍？
（2）若小球在运动过程中，动能是重力势能的2倍时，它的速度多大？
正确答案
设地面为零势能面，则有：
（1）小球在运动过程中机械能守恒，则有机械能守恒可知
解得h=
（2）由机械能守恒可知：
解得：v=
答：（1）球距地面30m处，它的重力势能是动能的2倍；（2）动能是重力势能的2倍时，它的速度为24.5m/s．
在光滑水平面上，质量为1kg的球A以12m/s的水平速度与静止的质量为2kg的球B相碰，碰后二球即粘在一起．此过程中，球A对球B做的功为______，球A的动能变化情况是______，系统损失的机械能为______．
正确答案
A、B碰时动量守恒mAv=（mA+mB）v′
两球碰撞后粘在一起的速度为v′=4m/s
根据动能定理得球A对球B做的功等于B的动能变化．
即球A对球B做的功W=△EkB=16J
球A的速度减小，所以动能变化△EkA=-64J
所以球A的动能变化情况是减小了64J．
根据能量守恒得系统损失的机械能为
故答案为：16J；减小了64J；48J
一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和 B．支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置，由静止释放，不计任何阻力．转动中设OA边与水平方向的夹角为θ，则当A球速度达最大时θ为______；假定支架未转动时两小球的总重力势能为Eo，转动中当A的速度为______时两小球的总重力势能为Eo/3．
正确答案
根据题意知，A、B两球的角速度相等，线速度之比等于转动半径之比，为2：1，小球A、B系统中，只有重力势能和动能相互转化，系统机械能守恒，假设转动θ，则OA杆与水平方向的夹角为θ，则A球减小的机械能等于B球增加的机械能，有
mg•2l•sinθ-2mg•（l-lcosθ）=
v
2
)2
解得
v=
由数学知识知，当θ=45°时，sinθ+cosθ有最大值，故当θ=45°时，A球的速度最大；
重力势能减小
v1
2
)2
解得
v1=
故答案为：45°，
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