曲线的参数方程
共1154题

曲线的参数方程
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题型：简答题

简答题

已知直线l：x+y=1与椭圆（θ为参数），若直线l与椭圆交于A，B两点，求线段AB的长度．

正确答案

解：化为普通方程可得，

与直线方程x+y=1联立消去y，可得5x2-8x=0，

解得：x=0，或x=，带回直线的方程分别可得y=1，y=-，

即两个交点坐标分别为：（0，1），（，）

所以由两点间距离公式，可得得AB==

解析

解：化为普通方程可得，

与直线方程x+y=1联立消去y，可得5x2-8x=0，

解得：x=0，或x=，带回直线的方程分别可得y=1，y=-，

即两个交点坐标分别为：（0，1），（，）

所以由两点间距离公式，可得得AB==

题型：填空题

填空题

实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为______．

正确答案

解析

解：3x2+2y2=6x，配方得，3（x-1）2+2y2=3，

令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，2π），

则=

=•=，

由于-1≤cosα≤1，

则当cosα=1时，取得最大值=2．

故答案为：2．

题型：单选题

单选题

椭圆（θ为参数）的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由得，椭圆的标准方程为，

所以a=5、b=4，则c=3，

所以椭圆的离心率e=，

故选：C．

题型：单选题

单选题

若实数x，y满足x2+4y2=4，则的最大值为（　　）

正确答案

解析

解：∵实数x，y满足x2+4y2=4，

∴设x=2cosθ，y=sinθ，

则====，

∴当θ=时，取最大值为．

故选C．

题型：单选题

单选题

曲线（θ为参数）上的点到原点的最大距离为（　　）

正确答案

解析

解：曲线（θ为参数）上的点到原点的距离为 =≤2，

当且仅当 cosθ=±1时，取得最大值，

故选 C．

题型：简答题

简答题

（1）写出椭圆的参数方程；

（2）求椭圆上一点P与定点（1，0）之间距离的最小值．

正确答案

解：（1）令x=3cosθ，y=2sinθ，即可得到椭圆的参数方程．

（2）设点P（3cosθ，2sinθ），则点P与点（1，0）之间的距离d（θ）=

=，

当cosθ=时，d（θ）取得最小值．

解析

解：（1）令x=3cosθ，y=2sinθ，即可得到椭圆的参数方程．

（2）设点P（3cosθ，2sinθ），则点P与点（1，0）之间的距离d（θ）=

=，

当cosθ=时，d（θ）取得最小值．

题型：简答题

简答题

已知椭圆（θ为参数）

（1）求该椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）已知点P是椭圆上任意一点，求点P与点M（0，2）的距离|PM|的最大值．

正确答案

解：（1）由得

∴---------------------------------------------------------------------------（2分）

∴a2=4，b2=1

∴c2=a2-b2=3

∴焦点坐标为，-------------------------------------（4分）

离心率------------------------------------------------------------------（6分）

（2）设点P的坐标为P（x，y），则，即：x2=4-4y2------------------------------------------------（8分）

∴=------------------------------------------------（12分）

∵y∈[-1，1]

∴当时，

∴|PM|的最大值是----------------------------------------------------（14分）

解析

解：（1）由得

∴---------------------------------------------------------------------------（2分）

∴a2=4，b2=1

∴c2=a2-b2=3

∴焦点坐标为，-------------------------------------（4分）

离心率------------------------------------------------------------------（6分）

（2）设点P的坐标为P（x，y），则，即：x2=4-4y2------------------------------------------------（8分）

∴=------------------------------------------------（12分）

∵y∈[-1，1]

∴当时，

∴|PM|的最大值是----------------------------------------------------（14分）

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形．

（1）；

（2）．

正确答案

解：（1）根据三阶行列式的运算公式有

a11（a22a33-a23a32）-a12（a21a33-a31a23）+a13（a21a32-a31a22）=0；

化简得2x-3y-6=0；

其图形是直线．

（2）根据同角三函数sin2φ+cos2φ=1；

消去φ可得曲线的方程为，

图形是椭圆

解析

解：（1）根据三阶行列式的运算公式有

a11（a22a33-a23a32）-a12（a21a33-a31a23）+a13（a21a32-a31a22）=0；

化简得2x-3y-6=0；

其图形是直线．

（2）根据同角三函数sin2φ+cos2φ=1；

消去φ可得曲线的方程为，

图形是椭圆

题型：单选题

单选题

中心在原点，焦点为（1，0）和（-1，0）且长轴长为4的椭圆的参数方程为（　　）

A（θ为参数）

B（θ为参数）

C（θ为参数）

D（θ为参数）

正确答案

解析

解：由c=1，2a=4，得a=2，b2=a2-c2=4-1=3，

∴中心在原点，焦点为（1，0）和（-1，0）且长轴长为4的椭圆的标准方程为：．

则该椭圆的参数方程为：，即．

故选：C．

题型：填空题

填空题

已知曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为0，直线P0的倾斜角为，则P点的坐标是______．

正确答案

（，）

解析

解：根据题意，曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数化成普通方程，

得（y≥0）

∵直线P0的倾斜角为，

∴P点在直线y=x上，将其代入椭圆方程得，

解之得x=y=（舍负），因此点P的坐标为（，）

故答案为：（，）

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