曲线的参数方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线C：（θ为参数）相交于A，B两点．

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）求线段AB的长．

正确答案

解：（1）曲线C：（θ为参数），化为普通方程（x+2）2+y2=9；

（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线方程为x-y+3=0，

圆心C（-2，0）到直线的距离为d，则d==，

∴AB=2=．

解析

解：（1）曲线C：（θ为参数），化为普通方程（x+2）2+y2=9；

（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线方程为x-y+3=0，

圆心C（-2，0）到直线的距离为d，则d==，

∴AB=2=．

1

题型：简答题

|

简答题

（1）点P是椭圆+=1上的动点，求点P到直线4x+3y=12的最大距离；

（2）已知圆C的参数方程（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=m，且直线l与圆C相切，求实数m的值．

正确答案

解：（1）由题意，设点P的坐标为（3cosθ，4sinθ），

则点P到直线4x+3y=12的距离是

d==；

当sin（θ+）=-1时，点P到直线4x+3y=12的最大距离为；

（2）圆C的标准方程是（x-1）2+y2=4，

直线l的直角坐标方程为2x+y=m；

∵直线l与圆C相切，

∴=2，

解得m=2±2；

∴实数m的值为2±2．

解析

解：（1）由题意，设点P的坐标为（3cosθ，4sinθ），

则点P到直线4x+3y=12的距离是

d==；

当sin（θ+）=-1时，点P到直线4x+3y=12的最大距离为；

（2）圆C的标准方程是（x-1）2+y2=4，

直线l的直角坐标方程为2x+y=m；

∵直线l与圆C相切，

∴=2，

解得m=2±2；

∴实数m的值为2±2．

1

题型：填空题

|

填空题

曲线C：（θ为参数），如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：因为（θ为参数）

消参可得x2+（y+1）2=1

利用圆心到直线的距离d≤r得解得：1-≤a≤1+

故答案为：1-≤a≤1+．

1

题型：单选题

|

单选题

参数方程（为参数）与极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形分别是（　　）

A直线、直线

B直线、圆

C圆、圆

D圆、直线

正确答案

B

解析

解：∵曲线的参数方程（为参数），

消去参数t得：2x-y-5=0．

∴它所表示的图形是直线．

∵ρ=sinθ

∴ρ2=ρsinθ

∴x2+y2=y

∴直角坐标方程为x2+y2-y=0

∴它所表示的图形是圆

故选B．

1

题型：简答题

|

简答题

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．M是C1上的动点，N点满足=2，N点的轨迹为曲线C2

（1）求C2的方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程式ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C2上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，），设P是C2上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围．

正确答案

解：（1）设点N的坐标为（x，y），

则由=2，可得点M的坐标为（，），

根据M是C1上的动点，可得，

故C2的参数方程为（α为参数）；

（2）由已知可得A（2cos，2sin），B，

C，

即A（），B（），C（0，-2）；

设P（4cosα，6sinα），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，

则S=60+60sin2α，

因为0≤sin2α≤1，

所以S的取值范围是[60，120]，

即|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是[60，120]．

解析

解：（1）设点N的坐标为（x，y），

则由=2，可得点M的坐标为（，），

根据M是C1上的动点，可得，

故C2的参数方程为（α为参数）；

（2）由已知可得A（2cos，2sin），B，

C，

即A（），B（），C（0，-2）；

设P（4cosα，6sinα），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，

则S=60+60sin2α，

因为0≤sin2α≤1，

所以S的取值范围是[60，120]，

即|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是[60，120]．

1

题型：简答题

|

简答题

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．

（1）求|AB|的值；

（2）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

正确答案

解：（1）利用sin2θ+cos2θ=1可得：曲线C1的普通方程为，

由C2：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C2的普通方程为x+y-1=0，

则C2的参数方程为为参数），

代入C1得，

∴．

（2）．

解析

解：（1）利用sin2θ+cos2θ=1可得：曲线C1的普通方程为，

由C2：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C2的普通方程为x+y-1=0，

则C2的参数方程为为参数），

代入C1得，

∴．

（2）．

1

题型：填空题

|

填空题

已知曲线c1的参数方程为（t为参数），曲线c2的参数方程为（θ为参数），c1与c2的交点为A，B，则|AB|=______．

正确答案

解析

解：由曲线c2的参数方程（θ为参数），消去参数化为x2+y2=4．

把曲线c1的参数方程（t为参数）代入上述方程可得：100t2+20t-11=0．

∴，．

∴|AB|====．

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正方向为极轴的极坐标中，圆的极坐标方程为ρ=2，则l与该圆相交所得弦的弦长为______．

正确答案

解析

解：∵ρ=2，∴x2+y2=4，

∴圆心为（0，0），半径r=2．

∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程x-y-2=0．

由点到直线的距离公式求得圆心（0，0）到直线x-y-2=0的距离为=．

∴直线与曲线C 相交所得的弦长2=．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程式：（t是参数），直线l的极坐标方程式2pcosθ+psinθ-4=0．

（1）将曲线C的参数方程转化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．

（2））若直线l与曲线C交于A，B，求AB中点的直角坐标．

正确答案

解：（1）曲线C的参数方程式：（t是参数），由t=代入x=4t2可得：y2=4x；

由直线l的极坐标方程式2ρcosθ+ρsinθ-4=0，可得2x+y-4=0．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），则=-2，．

∵，=4x2，∴×（y1+y2）=4，∴-2×2y0=4，解得y0=-1．

∴2x0-1-4=0，解得x0=．

∴线段AB中点的直角坐标为．

解析

解：（1）曲线C的参数方程式：（t是参数），由t=代入x=4t2可得：y2=4x；

由直线l的极坐标方程式2ρcosθ+ρsinθ-4=0，可得2x+y-4=0．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），则=-2，．

∵，=4x2，∴×（y1+y2）=4，∴-2×2y0=4，解得y0=-1．

∴2x0-1-4=0，解得x0=．

∴线段AB中点的直角坐标为．

1

题型：简答题

|

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

经过点作直线l，交曲线为参数）于A、B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求直线l的方程．

正确答案

解：曲线为参数）即 x2+y2=4，

∵|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，∴|AB|2=|MA|•|MB|，

故|AB|等于圆的切线长，故|AB|==．

设直线l的方程为y=k（x-），即 kx-y-k=0，故弦心距d=．

由弦长公式可得|AB|=2=，解得 k=±，故直线l的方程为y=．

解析

解：曲线为参数）即 x2+y2=4，

∵|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，∴|AB|2=|MA|•|MB|，

故|AB|等于圆的切线长，故|AB|==．

设直线l的方程为y=k（x-），即 kx-y-k=0，故弦心距d=．

由弦长公式可得|AB|=2=，解得 k=±，故直线l的方程为y=．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析