曲线的参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则在曲线C上到直线l的距离为的点有______个．

正确答案

3

解析

解：由曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+y2=8，可得圆心O（0，0），半径r=．

直线l的极坐标方程为，化为x=．

可得圆的切线x=2，此切线∥l，切点（2，0）到直线x=的距离为；

y轴∥l，且两条直线的距离为，联立，解得．

则点（0，±1）到直线x=的距离为．

综上可知：在曲线C上到直线l的距离为的点有3个．

故答案为：3．

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题型：填空题

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填空题

（选修4-4：坐标系与参数方程选讲）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．则曲线C上的点到直线l的最大距离是______．

正确答案

3

解析

解：由，得ρ（cosθ+sinθ）=4，

∴l：x+y-4=0．

在C：上任取一点，

则点P到直线l的距离为d==≤3．

∴当=-1时，dmax=3．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

（2014春•溧阳市期末）已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（）=0，且曲线C1与曲线C2在第一象限的交点为A，长方形ABCD的顶点都在C1上（其中A、B、C、D依次逆时针次序排列）求A、B、C、D的直角坐标．

正确答案

解：由曲线C1的参数方程是（φ为参数），化为直角坐标方程：+=1，

曲线C2的极坐标方程是ρsin（）=0，化为=0，可得：y-x=0．

联立，交点，或，

取点A．

由题意可得：B，C，D．

解析

解：由曲线C1的参数方程是（φ为参数），化为直角坐标方程：+=1，

曲线C2的极坐标方程是ρsin（）=0，化为=0，可得：y-x=0．

联立，交点，或，

取点A．

由题意可得：B，C，D．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

正确答案

解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．

（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，

∵C在点D处的切线与l垂直，∴直线CD与l的斜率相同，，t=．

故D的直角坐标为，即．

解析

解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x-1）2+y2=1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．

（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，

∵C在点D处的切线与l垂直，∴直线CD与l的斜率相同，，t=．

故D的直角坐标为，即．

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题型：填空题

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填空题

在曲线上，仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，则t的取值范围是______．

正确答案

（4，5）

解析

解：到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等的点的轨迹是抛物线y2=4x．

由曲线消去参数θ，化为（x-t）2+y2=16，圆心C（t，0），半径r=4．

联立消去y得到关于x的一元二次方程x2+（4-2t）x+t2-16=0，

由△=（4-2t）2-4（t2-16）＞0，解得t＜5．

满足仅存在四个点到点（1，0）距离与到直线x=-1的距离相等，必须满足t＞4．

因此所求的t的取值范围为（4，5）．

故答案为（4，5）．

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题型：简答题

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简答题

（2016•泰州一模）在平面直角坐标系xoy中，已知直线C1：（t为参数）与椭圆C2：（θ为参数，a＞0）的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．

正确答案

解：直线C1：2x+y=9，

椭圆C2：，…（5分）

准线：

由得，…（10分）

解析

解：直线C1：2x+y=9，

椭圆C2：，…（5分）

准线：

由得，…（10分）

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题型：简答题

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简答题

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，=2，点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；

（Ⅱ）求点P到点D（0，-1）距离d的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，

可知：x=|AB|cos（π-α）=-2cosα，y==sinα，

曲线C的参数方程是（α为参数，且）；

（Ⅱ）设P（-2cosα，sinα），则

|PD|=

=

=，

∵，∴sinα∈（0，1），

∴，

故d的取值范围是．

解析

解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，

可知：x=|AB|cos（π-α）=-2cosα，y==sinα，

曲线C的参数方程是（α为参数，且）；

（Ⅱ）设P（-2cosα，sinα），则

|PD|=

=

=，

∵，∴sinα∈（0，1），

∴，

故d的取值范围是．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程．

正确答案

解：曲线C的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标系下的方程普通方程是x2+y2=4．

直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程是y-1=-（x-2），

即x+y-1-2=0．

解析

解：曲线C的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标系下的方程普通方程是x2+y2=4．

直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程是y-1=-（x-2），

即x+y-1-2=0．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的参数方程为（t为参数），求曲线C的普通方程．

正确答案

解：解方程组，可得x+=2et，x-=2e-t，

两方程相乘可得=4．

解析

解：解方程组，可得x+=2et，x-=2e-t，

两方程相乘可得=4．

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题型：单选题

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单选题

方程（t为参数）的图形是（　　）

A双曲线左支

B双曲线右支

C双曲线上支

D双曲线下支

正确答案

B

解析

解：由x=et+e-t平方得x2=e2t+e-2t+2，

代入y=et-e-t得y2=e2t+e-2t-2，

两式相减，整理得，x2-y2=4，

又x=x=et+e-t=2，

所以普通方程为：x2-y2=4（x≥2），图形是双曲线右支．

故选B．

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