热门试卷

（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，

∴a3=5，a5=9，公差d==2.

∴an=a5+（n-5）d=2n-1．（3分）

又当n=1时，有b1=S1=

∴b1=

当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn)，∴=(n≥2).

∴数列{bn}是首项b1=，公比q=等比数列，

∴bn=b1qn-1=.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=anbn=，则Tn=++++（1）

∴Tn=+++++（2）（10分）

（1）-（2）得：Tn=++++-=+2(+++)-

化简得：Tn=1-（12分）

a7-a4=3d=-18

∴d=-6

∴a10=a7+3d=-20

（1）∵数列2，f（a 1），f（a 2），…，f（a n），2n+4（n∈N*）成等差数列

∴2n+4=2+（n+1）d，∴d=2，

∴f（an）=2+2n=logaan，

∴an=a2n+2

（2）数列{b n}单调递增

证明：∵b n=anf（an），

∴bn=（2n+2）a2n+2，

则bn+1=（2n+4）a2n+4，

∴bn+1-bn=（2n+4）a2n+4-（2n+2）a2n+2=a2n+2[（2n+4）a2-（2n+2）]

∵a＞1

∴a2＞1

∴（2n+4）a2-（2n+2）＞（2n+4）-（2n+2）=2＞0

∴bn+1-bn＞0即数列{b n}单调递增．

（Ⅰ）将点An(an，)代入抛物线y2=x+1，

得an+1=an+1，

∴an+1-an=d=1，

∴an=a1+（n-1）•1=n+5，

∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，

点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，

∴bn=2n+1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）==，

当k为偶数时，k+27为奇数，

∴f（k+27）=4f（k），

∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．

当k为奇数时，k+27为偶数，

∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=（舍去）

综上所述，存在唯一的k=4符合条件．

（Ⅲ）由-≤0，

即a≤(1+)(1+)…(1+)，

设f（n+1）=(1+)(1+)…(1+)(1+)，

∴=•(1+)

=•

=

=＞1，

∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，

∴f（n）min=f（1）=•=，

∴0＜a≤．…（12分）

（I）当n=1时，a1=S1=1，∴an=2n-1．

（II）由an=2nbn=2n-1，得bn=，Tn=+++…+，①2Tn=1+++…+，②

②-①，得Tn=1+1+++…+-=3-．

（1）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8．

所以an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）

（2）由2bn=（n+1）an，bn=n2+n+=(n+)2-()2，…（6分）

由题意得：≤-≤，-22≤a≤-18…（10分）

（3）因为cn+1-cn=()n，

所以cn=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（cn-cn-1）=1++()2+…+()n-2+()n-1==2-…（13分）

所以f（n）=bn+cn=n2+n++2-()n-1，

则f(n+1)=(n+1)2+(n+1)++2-()n-1，f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+(n+1)++2-(

1

2

)n]-[n2+n++2-(

1

2

)n-1]=2n+1+()n-10=2n+()n-9…（14分）

所以当k＞10时，f(n+1)-f(n)=2n+()n-9＞0

即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）

所以当1≤n≤4时，f(n+1)-f(n)=2n+()n-9＜8+-9＜0

即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）

f(n)=n2+n++2-()n-1=n2-10n-9-()n-1

所以 f（5）-f（4）＜0，所以f(n)min=f(5)=-…（18分）

（1）∵a1=，a2=，an+1=(n≥2)

∴a3=，a4=，

猜想an=，利用数学归纳法证明如下：

①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；

②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=

则n=k+1时，ak+1====

∴n=k+1时，结论成立

综上，an=；

（2）证明：bn==（-）

∴b1+b2+…+bn=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）

要证b1+b2+…bn＜，只需证明（-）＜

即证-＜

即证3n+2-2＜3n-1

即证＞，显然成立

∴b1+b2+…+bn＜．

（1）设{an}的公差为d，则

解得或

因此an=3+2（n-1）=2n+1或an=11-2（n-1）=-2n+13 …．（6分）

（2）当公差为正数时，d=2，Sn=3n+n（n-1）=n2+2n

∵bn===(-)

∴Tn=（1-+-+-+…+-+-+-）

=（1+--）= …．（12分）