热门试卷

（Ⅰ）设小到大排列的三个数分别为，a，aq，则⋅a⋅aq=a3=8，解得a=2．所以这三个数为，2，2q．这三个数分别加上2、2、1后为+2，4，2q+1，即a3=+2，a4=4，a5=2q+1，

又a3、a4、a5为等差数列，所以a3+a5=2a4，即+2+2q+1=2×4=8，即2q2-5q+2=0．解得q=2或q=．

因为三个数是从小到大成等比数列，所以q=不成立，舍去，所以q=2．

所以三个数为，1，2，4．即a3=3，a4=4，a5=5．

所以公差d=1，所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)=n，n∈N•．

（Ⅱ）因为bn=+=+=2+-，

所以Tn=(2+1-)+(2+-)+…+(2+-)

=2n+1-+-+…+-=2n+1-=2n+．

即数列{bn}的前项和为Tn=2n+，n∈N•．

（1）由3a2，2a3，a4 成等差数列，

所以4a3=a4+3a2，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a1≠0，q≠0，

∴q2-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．

∵q≠1，∴q=3，

由a1=3，得an=a1qn-1=3n；

（2）∵an=3n，∴bn=2log33n=2n．

得bn-bn-1=2．

∴{bn}是首项为9，公差为2的等差数列；

（3）由bn=2n，

设cn=，则不等式等价于（-1）n+1λ＜cn．

====＞1．

∵cn＞0，∴cn+1＞cn，数列{cn}单调递增．

假设存在这样的实数λ，使的不等式（-1）n+1λ＜cn对一切n∈N*都成立，则

①当n为奇数时，得λ＜(cn)min=c1=；

当n为偶数时，得-λ＜(cn)min=c2=，即λ＞-．

综上，λ∈(-，)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．

（1）当n=1时，有a13=a12，

由于an＞0，所以a1=1．

当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，

将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2．

（2）由于a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，①

则有a13+a23++an3+an+13=（a1+a2++an+an+1）2．②

②-①，得an+13=（a1+a2++an+an+1）2-（a1+a2++an）2，

由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．③

同样有an2=2（a1+a2++an-1）+an（n≥2），④

③-④，得an+12-an2=an+1+an．

所以an+1-an=1．

由于a2-a1=1，即当n≥1时都有an+1-an=1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．

故an=n．

（3）由（2）知an=n，则==(-)．

所以Sn=+++++=(1-)+(-)+(-)++(-)+(-)=(1+--)=-(+)．

∵Sn+1-Sn=＞0，

∴数列{Sn}单调递增．

所以(Sn)min=S1=．

要使不等式Sn＞loga(1-a)对任意正整数n恒成立，只要＞loga(1-a)．

∵1-a＞0，∴0＜a＜1．

∴1-a＞a，即0＜a＜．

所以，实数a的取值范围是(0，)．

（Ⅰ）由S2=a1+a2=3+a2，b2=b1q=q，且b2+S2=12，S2=b2q．

∴，消去a2得：q2+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），

∴a2=q2-3=32-3=6，则d=a2-a1=6-3=3，

从而an=a1+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，

bn=b1qn-1=3n-1；

（Ⅱ）∵an=3n，bn=3n-1，∴cn=3bn-λ•2an3=3n-λ2n．

∵cn+1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即：3n+1-λ•3n+1＞3n-λ•2n恒成立，

整理得：λ•2n＜2•3n对任意的n∈N*恒成立，

即：λ＜2•()n对任意的n∈N*恒成立．

∵y=2•()x在区间[1，+∞）上单调递增，∴ymin=2•=3，

∴λ＜3．

∴λ的取值范围为（-∞，3）．

（Ⅰ）设公差为d，

∵Sn=14，且a1，a3，a7成等比数列，

∴，…（4分）

解得d=0（舍）或d=1，所以a1=2，

故an=n+1．…（7分）

（Ⅱ）∵an=n+1，

∴==-，

所以Tn=-+-+…+-=-，…（12分）

所以T2012=．…（14分）

（Ⅰ）焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，-)在抛物线C上，

∴-=m，∴8m2+2m-1=0，∴m=（m=-舍）．  …（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x2=4y，F（0，1）．

设l方程为：y+=k(x-2)，A（x1，y1）、B（x2，y2），

则由得：x2-4kx+8k+2=0，△=16k2-4（8k+2）＞0，

解得k＜或k＞． 

由韦达定理可得，，…（8分）

假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1+k3=2k2．

而k1+k3=+==

===，…（11分）

∵k2=-，∴=-，8k2+10k+3=0，解得：k=-＜（符合题意），k=-（此时直线l经过焦点F，k1=k2=k3，不合题意，舍去），…（14分）

直线l的方程为y+=-(x-2)，即x+2y-1=0．

故k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）

（1）设an的首项为a1，∵a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，

∴，∴

∴a1=1，d=2，∴an=2n-1

n=1时，b1=T1=1-b1，∴b1=

n≥2时，Tn=1-bn，Tn-1=1-bn-1，

两式相减得bn=bn-1数列是等比数列，

∴bn=•（）n-1；

（2）Sn==n2，∴Sn+1=（n+1）2，=

n≥4时，＞Sn+1，证明如下：

下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．

②假设当n=k （k∈N*，k≥4）时，＞Sk+1，即＞（k+1）2．

那么n=k+1时，==3•＞3（k+1）2=3k2+6k+3

=（k2+4k+4）+2k2+2k-1＞[（k+1）+1]2=S（k+1）+1，

∴n=k+1时，结论也成立．

由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn+1都成立．

（Ⅰ）由已知可得：a1+4d=11（1分）

5a1+=35，a1+2d=7（3分）

解得：a1=3，d=2（5分）

∴an=2n+1（6分）

（Ⅱ）∵an=2n+1

∴bn=aan=a2n+1

∴==a2，

∵a≠0

∴{bn}是等比数列（7分）

b1=a3q=a2（8分）

∴（1）当a=1时，b1=1，q=1，Tn=n（9分）

（2）当a≠1时，Tn=（12分）

综上：Tn=（13分）