热门试卷

（本小题满分12分）

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由题意可得

解得a1=2，d=2-------------（2分）

∴an=2n------------------------------------（4分）

（Ⅱ）设bn=2n•32n=2n•9n的前n项和为Tn--------------------------------（6分）

Tn=2•9+4•92+…+2(n-1)•9n-1+2n•9n①

9Tn=2•92+4•93+…+2(n-1)•9n+2n•9n+1②

①-②得-8Tn=2•9+2•92+…+2•9n-2n•9n+1----------------------（10分）

化简得Tn=-----------------------------------（12分）

（1）∵f(x)=sinx•sin(x+π)•sin(x+π) 

=sinx•(-cosx)•cosx=-sinx•cosx=-sin3x．

令3x=kπ+

解得x=+，k∈Z，

所以f（x）的极值点为x=+，k∈Z，

从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，

∴an=+(n-1)•=π．

（2）由an=π知对任意正整数n，an都不是π的整数倍，

所以sinan≠0，

从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0，

于是====-1，b1=sin•sin•sin=，

∴{bn}是以为首项，-1为公比的等比数列，

∴bn=．

∴an•bn=•(-1)n-1(2n-1)，

Sn=(1×1+3×(-1)+5×1+…(2n-1)•（-1）n-1）

所以-Sn=(×(-1)+3×1+…(2n-3)•(-1)n-1+•（2n-1）（-1）n）

两式相减得，

数列{an•bn}的前n项和为Sn=•(-1)n-1．

（1）由an+1=（1+q）an-qan-1得an+1-an=q（an-an-1），即bn=qbn-1（n≥2）（2分）

又a1=1，a2=2，所以b1=a2-a1=1，又q≠0．

所以{bn}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）bn=qn-1（5分）

注：在证明中若从bn=qbn-1（n≥2）得出{bn}是等比数列扣（1分）．

（2）由bn=an+1-an及bn=qn-1得an+1-an=qn-1（6分）an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）+a1

=qn-2+qn-3+…+q+1+（18分）

当q=1时an=n（9分）

当q≠1时an=+1（10分）

（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=+1=+

=(2n-1)+[(1+q)n-1]（13分）=(1-)+[()n-]

因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2⇒-1＜＜1

则()n=0，又=0

所以={(1-)+[()n-]}=（16分）

（1）证明：由题意得，当n≥1时，=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)

⇒-=．…（4分）

（2）由（1）得：-=-及a1=-1

可知：数列{}是以-1为首项，以-为公差的等差数列，

可求得：Sn=-．…（8分）

（3）由（2）得Cn=-，且{Cn}是等差数列，设公差为d．

则-n2-n=…=2dpn2+[2dq+2p（c1-d）]n+2q（c1-d），

所以c1-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c1-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，

所以=1（常数）．…（13分）

解（1）设{an}的首项为a1，公差为d，

则a4=a1+3d，S3=3a1+3d，S4=4a1+6d，S6=6a1+15d，b4=，

∴=①…（4分）

又（6a1+15d）-（3a1+3d）=15②

由①②得a1=d=1…（6分）

∴Sn=∴bn=…（8分）

（2）bn==2(-)…（10分）

∴Tn=2(1-+-+-+…+-)=2(1-)=…（12分）

（1）由点（n，Sn）在曲线f（x）=x2-4x上（x∈N+）知Sn=n2-4n，（1分）

当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2-4n-[（n-1）2-4（n-1）]=2n-5；     （4分）

当n=1时，a1=S1=-3，满足上式；                         （5分）

∴数列{an}的通项公式为an=2n-5（6分）

（2）由bn=(an+5)•2n-1得bn=n•2n（7分）

∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n①（8分）

上式两边乘以2，得2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1②（9分）

①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1（10分）

∴-Tn=-n•2n+1

即Tn=(n-1)•2n+1+2．（12分）