热门试卷

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则

∵a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．

∴(a1+3d)2=a1(a1+12d)

∵a1=3，∴d2-2d=0

∴d=2或d=0（舍去）

∴an=3+2（n-1）=2n+1

∵q===3，b1==1

∴bn=3n-1；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知Sn=n2+2n

∴==（-）

∴++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1+--)

=-(+)＜

∵+≤+=

∴-(+)≥

∴≤++…+＜

（1）由S9=9a1+36d=0，

得：d=-1，

an=5-n

又由，

即n2-7n-30=0，

得到n=10．

（2）bn=2|5-n|

若n≤5，则b1+b2+…+bn≤b1+b2+…+b5=31，不合题意

故n＞5，

即2n-5＞989，

所以n≥15，

使不等式成立的最小正整数n的值为15．

（1）a=1时，f（x）=x+b单调递增，因此…..…．（3分）∴an=（n-1）b，bn=1+（n-1）b．…．（5分）

（2）∵a＞0，∴f（x）递增，∴bn=abn-1+b，∵=a+，由条件为常数，∴b=0，…．（7分）

这时{bn}是公比为a的等比数列，bn=an-1，∵b=0，an=aan-1，而a1=0，∴an=0．∴[a1，b1]∪[a2，b2]∪…∪[an，bn]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，an-1]，…..（9分）

当0＜a＜1时，上式=[0，1]；…．…．（10分）

当a＞1时，上式=[0，an-1]．…．（11分）

（3）当a＞0时，an=a•an-1+b，bn=a•bn-1+b，∴bn-an=a（bn-1-an-1），∴{bn-an}成等比数列，b1-a1=1，∴bn-an=an-1．…．（13分）

当a=1时，bn-an=1，∴Tn-Sn=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）

当a≠1时，Tn-Sn==-，…..（16分）∴原式=-•=-．…．（18分）

（Ⅰ）由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）

所以{an+3}是首项为a1+3=4，公比为2的等比数列．

所以an+3=4×2n-1=2n+1，故an=2n+1-3

（Ⅱ）因为（bn+1，bn）在直线y=x-1上，

所以bn=bn+1-1即bn+1-bn=1又b1=1

故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以bn=n

（Ⅲ）cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1故bncn=n•2n+1

所以Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1

故2Sn=1×23+2×24+…+（n-1）•2n+1+n•2n+2

相减得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2=-n•2n+2=(1-n)2n+2-4

所以Sn=（n-1）•2n+2+4

（I）∵Sn2=an（Sn-）（n≥2）

∴Sn2=（Sn-Sn-1）（Sn-）

∴2SnSn-1=Sn-1-Sn

∴2=-…（2分）

又a1=1，=1

∴数列{}为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分）

∴=1+（n-1）•2=2n-1

∴Sn=．

∴an=…（5分）

（II）bn===(-）

∴Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)+(-）]

=(1-)=…（8分）

（III）令T（x）=，则T（x）在[1，+∞）上是增函数

∴当n=1时Tn=(n∈N*)取得最小值．T1=…（10分）

由题意可知，要使得对任意n∈N*，都有Tn＞（m-8）成立，

只要T1＞（m-8）即可．

∴＞（m-8），解之得m＜

又∵m∈n，∴m=9．…（12分）

（1）∵等差数列{an}中，a3=1，a11=9，

设出公差为d，可得a1+2d=1①，a1+10d=9②，

②-①8d=8，可得d=1，d=1代入①可得，a1=-1，

∴a7=a1+6d=-1+6×1=5，

（2）∵a1=-1，d=1，

∴an=-1+（n-1）×1=n-2；，

（3）可以得，sn===；

（1）由已知，得a1=S1==0，∴Sn=，

则有Sn+1=，

∴2（Sn+1-Sn）=（n+1）an+1-nan，即（n-1）an+1=nan  n∈N*，

∴nan+2=（n+1）an+1，

两式相减得，2an+1=an+2+an   n∈N*，

即an+1-an+1=an+1-an    n∈N*，

故数列{an}是等差数列．

又a1=0，a2=a，∴an=（n-1）a．

（2）若a=2，则an=2（n-1），∴Sn=n（n-1）．

由-Sn=11，得n2-n+11=（m-1）2，即4（m-1）2-（2n-1）2=43，

∴（2m+2n-3）（2m-2n-1）=43．

∵43是质数，2m+2n-3＞2m-2n-1，2m+2n-3＞0，

∴，解得m=12，n=11．

（3）由an+b≤p，得a（n-1）+b≤p．

若a＜0，则n≥+1，不合题意，舍去；     

若a＞0，则n≤+1．∵不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p-2，

∴3p-2≤+1＜3p-1，

即2a-b＜（3a-1）p≤3a-b，对任意正整数p都成立．

∴3a-1=0，解得a=，

此时，-b＜0≤1-b，解得＜b≤1．

故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，＜b≤1．

（Ⅰ）解得a1=3，d=2

∴an=3+（n-1）×2=2n+1

（Ⅱ）当n≥2时，bn=an-an-1=2，b1=3

∴cn=bn•2n

Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n=3×2+2×（）=2n+2+2

（1）依题意得，=n+，即Sn=n2+n．…（2分）

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n-；   …（5分）

当n=1时，a1=S1=12+×1==2×1-．…（6分）

所以an=2n-

1

2

 (n∈N*)．…（7分）

（2）由（1）得bn=3an+12=32n，…（8分）

由==32=9，可知{bn}为等比数列．…（10分）

由b1=32×1=9，…（11分）

故Tn==．…（13分）