- 等差数列
- 共11217题
数列{xn}满足：x1=1，x2=-1，且xn-1+xn+1=2xn（n≥2），则xn=______．
正确答案
∵xn-1+xn+1=2xn（n≥2），
∴数列是一个等差数列，
∵x1=1，x2=-1，
∴d=-1-1=-2
∴xn=x1+（-2）（n-1）=-2n+3
故答案为：-2n+3
等差数列{an}中，a5+a7=16，a3=4，则a9=______．
正确答案
∵等差数列an中，a5+a7=16，
∴a6=8
∵a3=4，
∴3d=8-4=4
∴a9=a6+3d=8+4=12，
故答案为：12．
一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5°的等差数列，且最小内角为120°，则此多边形为 ______边形．
正确答案
设这是个n边形，因为最小的角等于120°，公差等差等于5°，
则n个外角的度数依次是60，55，50，…，60-5（n-1），
由于任意多边形的外角和都等于360°，所以60+55+50+…+[60-5（n-1）]=360，
∴
-5n2+125n-720=0
n2-25n+144=0
n=9或n=16，经检验n=16不符合题意，舍去，所以n=9，这是个9边形．
故答案：九．
已知数列{bn}满足条件：首项b1=1，前n项之和Bn=
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}的满足条件：an=（1+
正确答案
（1）当n＞1时，bn=Bn-Bn-1
=
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+
∴an=
由a1=2，bn=3n-2知，
an=（1+
=（1+1）（1+
又
设cn=
当n=1时，有（1+1）=
当n=2时，有an=（1+1）（1+
=
假设n=k（k≥1）时an＞cn成立，
即（1+1）（1+
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+
＞
右边=ck+1=
由（ak+1）3-（ck+1）3=（3k+1）
=
=
综合上述，an＞cn对任何正整数n都成立．（3分）
各项均为正数的数列{an}，满足a1=1，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
正确答案
（1）因为an+12-an2=2，
所以数列{
所以
因为an＞0，所以an=
（2）由（1）知，an=
所以Sn=
则
①-②得，
=
=
所以Sn=3-
（1）已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=-8，则数列an前n项和的最大值为______．
（2）已知an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，若S10=0，求数列an前______项和取得最大值．
正确答案
（1）∵an是等差数列，其中a1=31，公差d=-8，
∴数列an前n项和sn=-4n2+35n，
根据二次函数的性质，当n=
∵n∈N，
∴n=4，
∴前n项和sn的最大值是sn=-64+140=76，
（2）an是各项不为零的等差数列，
其中a1＞0，公差d＜0，S10=0，
根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=
数列an前5项和取得最大值．
已知等差数列{an}的前三项分别为a-1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为______．
正确答案
∵等差数列{an}的前三项分别为a-1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）=a-1+a+7，
解得a=2．
∴a1=2-1=1，a2=2×2+1=5，a3=2+7=9，
∴数列an是以1为首项，4为周期的等差数列，
∴an=1+（n-1）×4=4n-3．
故答案：4n-3．
在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2a9-a10的值为______．
正确答案
∵在等差数列{an}中，
a1+3a8+a15=60，
∴5a8=60，
a8=12，
2a9-a10=a1+7d=a8=12
故答案为：12
已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn（n∈N*）．若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式an=______．
正确答案
因为a1＞1，a4＞3，S3≤9，所以a1+3d＞3，3a2≤9，
∴d＞
∴a1≤3-d＜3-
∵等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，
∴a1=2，则由以上可得 
∴an=2+1×（n-1）=n+1．
故答案为 n+1．
已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn=pn2+2n（n∈N*）．
（I）求p的值及an；
（II）若bn=
正确答案
（I）（法一）∵{an}的等差数列∴Sn=na1+
又由已知Sn=pn2+2n，
∴p=1，a1-1=2，
∴a1=3，
∴an=a1（n-1）d=2n+1
∴p=1，an=2n+1；
（法二）由已知a1=S1=p+2，S2=4p+4，即a1+a2=4p+4，
∴a2=3p+2，
又此等差数列的公差为2，
∴a2-a1=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a1=p+2=3，
∴an=a1+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，an=2n+1；
（法三）由已知a1=S1=p+2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p（n-1）2+2（n-1）]=2pn-p+2
∴a2=3p+2，
由已知a2-a1=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a1=p+2=3，
∴an=a1+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，an=2n+1；
（II）由（I）知bn=
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-
∵Tn＞
∴
∴n=5
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