热门试卷

解：(1)因为f(x)=ax2+bx(a≠0)，所以f′(x)=2ax+b，

由f′(x)=-2x+7得a=-1，b=7，

所以f(x)=-x2+7x，

又因为点Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，

所以有，

当n=1时，；

当n≥2时，，

所以，

令an=-2n+8≥0得n≤4，

所以当n=3或n=4时，Sn取得最大值12；

综上，an=-2n+8(n∈N*)，当n=3或n=4时，Sn取得最大值12．

(2)由题意得，，

所以，即数列{bn}是首项为8，公比为的等比数列，

故{nbn}的前n项和，①

，②

所以①-②得，

所以。

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）=px-（p+q）+，

令f′（x）=0，得x=1或，

∵p＞q＞0，

∴，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在x=1处取得极小值，即a1=1；

（Ⅱ）依题意，f′（x）+q=2px2+px-p，

，

所以，

由a1=1，得p=1，

∴

当n≥2时，

①-②，得，

∴，

∴，

由于，∴，

所以{an}是以a1=1，公差为的等差数列，

∴。

（Ⅲ），

由，

所以

由已知p＞q＞0，而由（Ⅱ）知p=1，

∴q≠1，

∴，④

由③-④，得

，

∴。

解：（1）f'（x）=ex-1

由f'（x）=0，得x=0

当x>0时，f'（x）>0；

当x＜0时，f'（x）＜0

∴f（x）在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减

∴f（x）min=f（0）=1。

（2）∵M∩P≠，

∴f（x）>ax在区间上有解，

由f（x）>ax，得ex-x>ax即在上有解

令

则

∴g（x）在上递减，在[1，2]上递增

又

且

∴

∴。

（3）假设存在公差为d的等差数列{an}和公比q>0，首项为f（1）的等比数列{bn}，使a1+a2+…+an+b1+b2+…+ bn=Sn

∵

b1=f（1）=e-1，

∴a1+b1=S1即

∴

又n≥2时

故n=2，3时有

②-①×2得q2-2q=e2-2e，解得q=e或q=2-e（舍），

故q=e，d=-1，

此时

且

∴存在这样的数列{an}、{bn}满足题意。

解：（1）（i）解：∵a1=1，d=2，

∴，

，

当且仅当，即n=8时，上式取等号．

故的最小值是16．

（ii）证明：由（i）知Sn=n2，

当n∈N*时，，

=

=，

∵，

∴．

（2）假设对n∈N*，关于m的不等式

am=a1+（m﹣1）d≥n的最小正整数解为cn=3n﹣2，

当n=1时，a1+（c1﹣1）d=a1≥1；

当n≥2时，恒有

，

即，

从而．

当时，对n∈N*，且n≥2时，

当正整数m＜cn时，有．

a1符合题意且a1的取值范围是．

（1）因为f（1），f（2），f（4）成等差数列，所以2f（2）=f（1）+f（4），

即：2log2（2+m）=log2（1+m）+log2（4+m），即log2（2+m）2=log2（1+m）（4+m），得

（2+m）2=（1+m）（4+m），得m=0．

（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，

设a=b-d，c=b+d，（d不为0）；

f（a）+f（c）-2f（b）=log2（a+m）+log2（c+m）-2log2（b+m）=log2

因为（a+m）（c+m）-（b+m）2=ac+（a+c）m+m2-（b+m）2=b2-d2+2bm+m2-（b+m）2=-d2＜0

所以：0＜（a+m）（c+m）＜（b+m）2，

得0＜＜1，得log2＜0，

所以：f（a）+f（c）＜2f（b）．

解:(1)∵ ， 得

是以2为首项，1为公差的等差数列，

故        

(2) ∵，

，

在点处的切线方程为

令得

∴仅当时取得最小值，

∴的取值范围为

(3)  

 所以

又因

则

显然                                      

∵

解：∵，

∴

∵，∥，

∴x﹣y（1+x）=0，

∴

即函数的解析式为：f（x）=（0＜x＜1）；

（2）当n≥2时，由Sn=f（Sn﹣1）=，

则

又S1=a1=1，

那么数列{}是首项和公差都为1的等差数列，

则，即Sn=

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=；

n=1时，a1=1

故an=．

解：(Ⅰ)当n=1时，有，

由于，所以，

当n=2时，有，即，

将代入上式，由于，所以。

(Ⅱ)由，

得，  ①

则有，  ②

②-①，得，

由于，所以，③

同样有，，④

③-④，得，

所以an+1-an=l，

由于a2-a1=l，

即当n≥l时都有an+1-an=1，

所以数列{an}是首项为l，公差为l的等差数列，故an=n。

(Ⅲ)证法一：由于，

所以，，

即，

令，则有，

即，

即，故。

证法二：要证，

只需证，

只需证，

只需证，

由于

，

因此原不等式成立。