热门试卷

解：（1）

∴     ∴

∴数列是等差数列，首项，公差d=4

∴   ∴      

∵∴

（2）由

得

∴   ∴

∴

若为等差数列，则

∴

（3）∴  

     =

解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q

由题得：S10=10+d=55；b4=q3=8；解得：d=1，q=2．

所以：an=n，bn=2n-1。

（2）分别从从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（1，1），（2，2）。

∴这两项的值相等的概率：。

解：（1），

∴，

∴，

且，

∴an=n；

（2），

∴只需比较n+1和2n-1的大小，即比较n+2与2n的大小，

当n=1时，Snn；

（3）假设存在正整数k，n使得kan+2+an与kan+3+an+1有大于1的公约数d，

则d也是即的约数，

依题设有，

∴d是的约数，

从而d是与的公约数同理可得d是的约数依次类推，d是与的约数，

，

故，

于是，

又∵

从而d是k与1的约数，即d为1的约数，这与d>1矛盾；

故不存在k，n使与有大于1的公约数。

解：(1)由，

令f(x)=x，得，解得x=0或x=2，

即f(x)存在两个滞点0和2；

(2)由题意，得，

∴，①

故，②

由②-①得，

∴，

，

∴，即{an}是等差数列，且d=-1，

当n=1时，由，得，

∴。

(3)，③

∴，④

由④-③，得

 。

解：（Ⅰ）当n=1时，有，

由于an＞0，所以a1=1；

当n=2时，有，

将a1=1代入上式，由于an＞0，所以a2=2；

（Ⅱ）由于

则有，②

②-①，得，

由于an＞0，所以，③

同样有

③-④，得，

所以，

由于a2-a1=1，

即当n≥1时都有，

所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an=n；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知an=n，

则，

所以

，

 ，

∴数列{Sn}单调递增，所以，

要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，

∵1-a＞0，

∴0＜a＜1，

∴1-a＞a，即，

所以，实数a的取值范围是。

解：（Ⅰ）①设等差数列{an}的公差为d，

则，

因为是等差数列，

所以，即，

解得d=0或d=1，

因为d≠0，所以d=1，

此时，

即是等差数列，

所以an=n，；

②由①得，

所以，

因为，

所以，所以；

（Ⅱ）假设存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使对一切n∈N*都成立，

则，

所以，

所以，

若，则，

所以当n∈N*时，，即，

因为cn∈N*，所以，

令c1=M，

所以（c2-c1）+c1≤-（M+1）+M=-1＜0，

与矛盾；

若，取N为的整数部分，

则当n≥N时，，

所以，即，

因为cn∈N*，所以，

令cN=M，

所以

≤-（M+1）+M=-1＜0，

与矛盾；

综上，假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使对一切n∈N*都成立。

解：(Ⅰ)a1=0，a2=1+2a1=1，a3=2+2a1=2，a4=l+2a2=3，

a5=3+2a2=5；a6=l+2a3=5，a7=4+2a3=8；

(Ⅱ)由题设，对于任意的正整数n，都有：，

∴，

∴数列是以为首项，为公差的等差数列，

∴；

(Ⅲ)对于任意的正整数k，

当n= 2k或n=1，3时，an＜an+1；

当n=4k+l时，an=an+1；

当n=4k+3时，an＞an+1。证明如下：首先，由al=0，a2=1，a3=2，a4=3可知n=1，3时，an＜an+1；

其次，对于任意的正整数k，

n=2k时，

an-an+1=a2k-a2k+1=(1+2ak)-(k+l+2ak)=-k＜0；

n=4k+l时，

an-an+1=a4k+l-a4k+2=(2k+1+2a2k)-(1+2a2k+1)=2k+2a2k-2a2k+1=2k+2(1+2ak)-2(k+1+2ak)=0，

所以an=an+1；

n=4k+3时，

an-an+1=a4k+3-a4k+4=(2k+2+2a2k+1)-(1+2a2k+2)

=2k+l+2a2k+l-2a2k+2=2k+1+2(k+1+2ak)-2(1+2ak+l)=4(k+ak-ak+l)+l，

事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，k+ak≥ak+1(*)（证明见后），

所以，此时an＞an+1； 综上可知：结论得证。

对于任意正整数k，k+ak≥ak+1(*)的证明如下：

1)当k=2m(m∈N*)时，

k+ak-ak+1=2m+a2m-a2m+1=2m+(1+2am)-(m+l+2am)=m＞0，满足(*)式；

2)当k=l时，1+a1=l=a2，满足(*)式；

3)当k=2m+l(m∈N*)时，

k+ak-ak+1=2m+l+a2m+l-a2m+2=2m+l+（m+1+2am）-(1+2am+1)

=3m+l+2am-2am+1=2（m+ am-am+1）+(m+1)，

于是，只须证明m+am-am+1≥0，

如此递推，可归结为1）或2）的 情形，于是(*)得证。

解：（I）在中，令n=1，n=2，

得，即，

解得a1=1，d=2，

（II）（1）当n为偶数时，要使不等式恒成立，

即需不等式恒成立．

∵，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．

（2）当n为奇数时，要使不等式恒成立，

即需不等式恒成立．

∴是随n的增大而增大，

∴取得最小值﹣6．

∴此时λ需满足λ＜﹣21．

综合（1）（2）可得λ＜﹣21

∴?的取值范围是{λ|λ＜﹣21}．

解：(1)这个数列的前4项的分子都是项数，分母都是分子加1，

所以它的一个通项公式是，n∈N*；

(2)这个数列的前4项-1，2，-3，4的绝对值都是项数且奇数项为负，偶数项为正，

所以它的一个通项公式是an=（-1）nn，n∈N*；

(3)这个数列的前4项1，3，5，7都是项数的2倍减去1，

所以它的一个通项公式是an=2n-1，n∈N*；

(4)这个数列的前4项的分母都是项数加上1，

分子都是分母的平方减去1，

所以它的一个通项公式是an=，n∈N*。