热门试卷

（1）；（2）；（3）当时，函数与存在分切线，为直线.

试题分析：本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．第一问，先解三角方程，零点值构成等差数列，利用等差数列的通项公式，求和公式求；第二问，先将恒成立转化为，利用导数判断函数的单调性，求出最大值，得到a的取值范围；第三问，将函数和存在分切线转化为“”或“”在 上恒成立，结合（1）（2）判断是否符合题意，再进行证明.

试题解析：（1）∵， ∴ ∴，．      1分

∴，                      2分

∴．                             4分

（2）∵在上恒成立，

∴在上恒成立．                   5分

设，  ∴，           6分

∴在单调递增，单调递减，单调递增，单调递增，

∴的极大值为，

∴的最大值为，    ∴ ．               8分

（3）若函数与存在分切线，则有“”或“”在 上恒成立，

∵当时，，．

∴，使得，   ∴在不恒成立．

∴只能是在上恒成立．                        9分

∴由（2）可知， ∵函数与必须存在交点， ∴．      10分

当时，函数与的交点为,∵，

∴存在直线在点处同时与、相切，

∴猜测函数与的分切线为直线．            11分

证明如下：

①∵，

设，则．

令，则有．

∴在上单调递增，∴在上有且只有一个零点．

又∵，∴在单调递减，在单调递增，

∴，∴，

即在上恒成立．

∴函数的图象恒在直线的上方．             13分

②∵在上恒成立，

∴函数的图象恒在直线的下方．

∴由此可知，函数与的分切线为直线，

∴当时，函数与存在分切线，为直线．         14分

（1）；（2）存在，

试题分析：（1）由

所以数列是等差数列，可先求数列再求数列的通项公式；也可以先根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，然后由数学归纳法证明.

（2）利用数列的递推公式构造函数，

由，然后结合函数的单调性，用数学归纳法证明即可.

解:（1）解法一：

再由题设条件知

从而是首项为0公差为1的等差数列，

故=，即

解法二：

可写为.因此猜想.

下用数学归纳法证明上式：

当时结论显然成立.

假设时结论成立，即.则

这就是说，当时结论成立.

所以

（2）解法一：设，则.

令，即，解得.

下用数学归纳法证明加强命：

当时，，所以，结论成立.

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即

再由在上为减函数得.

故，因此，这就是说，当时结论成立.

综上，符合条件的存在，其中一个值为.

解法二：设，则

先证：         ①

当时，结论明显成立.

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即这就是说，当时结论成立，故①成立.

再证：           ②

当时，，有，即当时结论②成立

假设时，结论成立，即

由①及在上为减函数，得

这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.

由②得

即

因此

又由①、②及在上为减函数得

即

所以解得.

综上，由②③④知存在使对一切成立.

（1）；（2）当或时，最小，最小值为.

试题分析：（1）设等差数列的公差为，进而根据条件列出方程组，从中求解得到与，进而可以写出数列的通项公式；（2）由（1）中结论可得，法一：进而根据等差数列的通项公式求出该数列的前项和，再由二次函数的图像与性质即可求得的最小值；法二：也可以由得出该数列从首项开始到哪一项都是非正常，所有这些非正数相加，当然是达到的最小值.

（1）设等差数列的公差为，由已知可得即，解得，所以

（2）法一：由（1）可得，则由等差数列的前项和公式可得

因为为整数，根据二次函数的图像与性质可知：当或时，最小，最小值为

法二：由（1）可得，所以该数列是单调递增数列，令，解得所以当或时，最小，最小值为.项和；2.二次函数的图像与性质.

（1）见解析； （2）.

试题分析：（1）根据递推关系式得，结合恰为等比数列的前三项，得到结论. （2）先由得到，两式相减，利用错位相减法求前n项和. 所以. 

（1）当时，，则，

于是，而，，故，                       2分

所以时，为公差为2的等差数列，

因为恰为等比数列的前三项，所以

即，解得，                              3分

由条件知，则，                                   4分

于是，

所以为首项是1，公差为2的等差数列；                          6分

（2）由（1）知，                                 8分

，

两边同乘以3得，

，                     9分

两式相减得

，                  12分

所以.                                            13分

（1），（2）是中的一项，正整数的集合是．

试题分析：（1）记的，公差为，公比为，由，得，比较与的大小关系，由已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且，且，得，，当时，显然，当时，由平均值不等式，从而可比较与的大小关系；（2）若，可得，，（ⅰ）令，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出，若是正整数，为数列中的某一项，若不是正整数，不是数列中的一项，（ⅱ）若是数列中的某一项，写出正整数的集合，可由（ⅰ）的方法写出．

试题解析：记的，公差为，公比为，由，得

（1），，，，

当时，显然；

当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即.综上所述，．                5分

（2）（ⅰ）因为，所以得所以或.因为，所以，.

令，即，，，所以是中的一项.

（ⅱ）假设，则，，

当或，（）时，.

正整数的集合是.            13分

(1) .(2)的取值范围是.

试题分析：(1)由可得：.所以这是一个等差数列，由等差数列的通项公式即可得.(2)，.这是典型的用裂项法求和的数列. 由得.要使得恒成立，则.用裂项法可求得，从而得，令.下面求的最小值.将变形得.利用函数的单调性便可得最小值，进而得的取值范围.

试题解析：(1)由可得：.

所以是等差数列.

又因为.

(2) .

，

.

.

恒成立.

令.

.

令，则.

，易知时，最小.

所以，即的取值范围是.

（1）an＝－2n＋22.

（2）Sn＝

解：(1)设数列{an}的公差为d，

依题意得，

解得，

∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝－2n＋22.

(2)由(1)知|an|＝|－2n＋22|＝，

∴当n≤11时，Sn＝20＋18＋…＋(－2n＋22)＝＝(21－n)n；

当n>11时，Sn＝S11＋2＋4＋…＋(2n－22)＝110＋＝n2－21n＋220.

综上所述，Sn＝.

(1)，；（2）.

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、裂项相消法求和等数学知识，考查学生的计算能力和分析问题的能力.第一问，利用等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式将已知表达式展开，求出和，从而求出等差数列、等比数列的通项公式；第二问，利用等差数列的前n项和公式先求出，得到进行裂项，用裂项相消法求数列的前n项和.

试题解析：（1）设的公差为.

因为所以                        3分

解得 或（舍），

故 ，.                                  6分

（2）由（1）可知，，                        7分

所以.                        9分

故            12分