热门试卷

（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22

又a2+a5=a3+a4=22

∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0

∴a3=9，a4=13

∴

∴d=4，a1=1

∴an=1+（n-1）×4=4n-3

（2）由（1）知，sn=n+=2n2-n

∵bn==

∴b1=，b2=，b3=，

∵bn是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，

∴c=-（c=0舍去），

（3）由（2）得bn==2n，Tn=2n+=n2+n=(n+1)n

2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4≥4，

但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4＞4，

∴===≤4，

n=3时取等号（15分）

（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以2Tn-3bn-1＞．

（1）△an=an+1-an=[（n+1）2-6（n+1）]-（n2-6n）=2n-5…3分

△2an=△an+1-△an=[2（n+1）-5]-（2n-5）=2…2分

（2）由△2an-△an+1+an=-2n，

则△an+1-△an-△an+1+an=-2n

即△an-an=2n，

∴an+1-an=an+2n，即an+1=2an+2n…2分

∴=+，

则{}为公差是的等差数列…2分

又=，

∴=+（n-1）=n（n∈N*），

∴an=n•2n-1…2分

∴Sn=1•20+2•21+3•22+4•23+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1…①

2Sn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n…②

①-②得：

-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n=2n-1-n•2n，

∴Sn=（n-1）2n+1（n∈N*）…2分

（Ⅰ）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得：-=3(n≥2)，

所以{}是以1为首项，3为公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：=1+3(n-1)=3n-2，所以an=．

（Ⅲ）若λan+≥λ恒成立，即+3n+1≥λ恒成立，整理得：λ≤．   

令cn=，

则可得 cn+1-cn=-=．

因为n≥2，所以 ＞0，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小，c2=，

所以λ的取值范围为(-∞，]．

（1）当n=1时，2-(t+b1)+b1=0，得b1=2t-4，

同理：n=2时，得b2=16-4t；n=3时，得b3=12-2t，则由b1+b3=2b2，得t=3．…（2分）

而当t=3时，2n2-(3+bn)n+bn=0，得bn=2n

由bn+1-bn=2，知此时数列{bn}为等差数列．…（4分）

（2）由题意知，c1=a1=2，c2=c3=2，c4=a2=4，c5=c6=c7=c8=2，c9=a3=8，…

则当m=1时，T1=2≠2c2=4，不合题意，舍去；

当m=2时，T2=c1+c2=4=2c3，所以m=2成立； …（6分）

当m≥3时，若cm+1=2，则Tm≠2cm+1，不合题意，舍去；

从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，则Tm=a1++a2++a3++a4+…+ak+

=（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2(2k-1)+2×=2k+1+2k2+2k-2，…（9分）

又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，

所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，即2k-k2-k+1=0，

所以2k+1=k2+k=k（k+1）

因为2k+1（k∈N*）为奇数，而k2+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解．

即当m≥3时，Tm≠2cm+1

综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…（12分）