热门试卷

（Ⅰ）证明：由已知：（sn+1-sn）-（sn-sn-1）=1  （n≥2，n∈N*），

即an+1-an=1  （n≥2，n∈N*）且a2-a1=1．

∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．

∴an=n+1．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=（n+1）•2n，它的前n项和为Tn

Tn=2•21+3•22+4•23++n•2n-1+（n+1）•2n（1）

2Tn=2•22+3•23+4•24++n•2n+（n+1）•2n+1（2）

（1）-（2）：

-Tn=2•21+22+23+24++2n-（n+1）•2n+1

=4+  -(n+1)•2n+1

=-n•2n+1

∴Tn=n•2n+1（13分）

（1）S2=﹣2  

（2）见解析

（1）由题意，

得S22=﹣2S2，

由S2是等比中项知S2≠0，

∴S2=﹣2．

由S2+a3=a3S2，解得．

（2）证明：因为Sn+1=a1+a2+a3+…+an+an+1=an+1+Sn，

由题设条件知Sn+an+1=an+1Sn，

∴Sn≠1，an+1≠1，且，

从而对k≥3 有ak===①

因，且，

要证，由①，只要证

即证，即，

此式明显成立，因此．

（1）an＝n＋1；（2）bn＋1＞bn.

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比中项、数列的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先用等比中项的定义将数学语言转化为数学表达式，再用等差数列的通项公式将已知的所有表达式都用和展开，解方程组解出基本量和，利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式；第二问，先利用单调性的定义，利用来判断数列单调递增.

试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得

          4分

注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．

所以an＝n＋1．             6分

（2）由（1）可知

，，

因为        10分

，         11分

所以bn＋1＞bn．             12分

（1）；（2）答案详见解析.

试题分析：数列问题要注意以下两点①等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；②数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．（1）由题知，展开，又，利用等差数列通项公式展开，得方程，联立求，进而求数列的通项公式；（2）求数列前项和，首先考虑其通项公式，利用裂项相消法，求得，将其看作自变量为的函数，求其值域即可.

试题解析：（1）由题知，即，           2分

解得或（舍去），              4分

所以数列的通项公式为 ．                     4分

（2）由（1）得                    7分

则                       8分

则

=                          10分

由可知，即                 11分

由可知是递增数列，则           13分

可证得：              14分项和；3、裂项相消法．

（1）；（2）．

试题分析：（1）由已知可得等差数列的公差为整数．由可得列出不等式组解得的范围，从而可确定整数的值，最后由等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；

（2）由已知先写出，

列出的表达式，

由于可分裂为，故采用裂项相消法求．

（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．

（2），

于是．项和．

（1）;（2）

试题分析：（1）此题为基本量法的习题，为等差数列，,,将已知条件代入，解得与, 再代入求;

（2）也是先设基本量首项与公比，代入,解得与.

解：（1）由题意知：

（2）由题意知：

（1），；（2）详见解析.

试题分析：（1）解以为变量的一元二次方程得出数列的通项公式，利用与之间的关系利用作差法求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，方法一是将的前项和中的项一一配对并进行裂项展开，然后利用裂项法求，进而证明相应不等式；方法二是将数列中的每一项进行拆开，然后逐项求和，进而证明相应不等式.

试题解析：（1）由，得，

由于是正项数列，所以，

由可得当时，，两式相减得，

数列是首项为，公比的等比数列，；

（2），

方法一：

，

；

方法二：，

.

（1）；（2）当时，；当时，，当且时，.

试题分析：（1）利用等差数列的通项公式，将已知的等式转化成用首项与公差表示，从而求出，最后由等差数列的通项公式可得到数列的通项公式；（2）设，从而得到，针对、及且分三类进行求解，当、时，直接可求得，当且时，应用错位相减法进行求和即可，问题得以解决.

试题解析：(1)设数列的公差为，则

即，而，所以

所以

(2)令，其中

则①

当时，

当时，

当且时，②

①－②得：

∴.项和公式；3.等比数列的前项和公式；4.错位相减法求和；5.分类讨论的思想.