热门试卷

（1），，；（2）详见解析；（3）详见解析．

试题分析：（1）由，，成等差数列可得一等式：.为了求出，，，需再列两个方程．在题设中，令，，便又得两个方程，这样解方程组即可．

（2）要证为等比数列，需证是一个常数．为此，需找到与.题设中是这样一个关系式，显然应消去只留，这就要用.

将中的换成得，两式相减得：，所以．注意这里的大于等于2，所以还需要考虑的情况.

（3）涉及数列的和的不等式的证明，一般有以下两种方法，一是先求和后放缩，二是先放缩后求和.

在本题中，应首先求出通项公式.由（2）可得．对这样一个数列显然不可能先求和，那么就先放缩.因为，所以，然后采用迭乘或迭代的方法，便可得，右边是一个等比数列，便可以求和了.

试题解析：（1）因为，，成等差数列，所以……………………①

当时，，………………………………………………………②

当时，，………………………………………………③

所以联立①②③解得，，，．

（2）由，得，

两式相减得，所以．

因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列．

（3）由（2）得，，即．因为，

所以，

所以当n≥2时，，，，…….，，两边同时相乘得：.

所以．

（1），；（2）.

试题分析：（1）设出等差数列的公差，根据，，带入初始条件，求出和，根据等差和等比数列通项公式写出最终的结果；（2）由（1）求出其前项和为，则，接着利用裂项相消法，求出

试题解析：（1）设的公差为.

因为所以

解得或（舍），.

故，.

（2）由（1）可知，，

所以.

故.

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）由已知，建立方程组

求得， 从而得到通项公式．

此类问题突出对等差数列、等比数列基础知识的考查，计算要细心.

（Ⅱ）不难得到，，典型的应用“错位相消法”求和的一类问题.

在计算过程中，较易出错的是“相减”后，和式中的项数，应特别注意.

试题解析：（Ⅰ）依题意得

解得，

∴，

即．

（Ⅱ），

两式相减得，

=

．

(1) Sn＝ (2) 20＋(3n－10)×2n＋1

(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－1，a5＝8，所以解得a1＝－4，d＝3，所以an＝－4＋3(n－1)＝3n－7，因此|an|＝|3n－7|＝,记数列{|an|}的前n项和为Sn，

当n＝1时，S1＝|a1|＝4，当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5，

当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.

又当n＝2时满足此式，

综上，Sn＝

(2)记数列{2nan}的前n项和为Tn

则Tn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan,2Tn＝22a1＋23a2＋24a3＋…＋2nan－1＋2n＋1an，

所以－Tn＝2a1＋d(22＋23＋…＋2n)－2n＋1an

由(1)知，a1＝－4，d＝3，an＝3n－7，所以－Tn＝－8＋3×－＝－20－(3n－10)×2n＋1，故Tn＝20＋(3n－10)×2n＋1.

（1）（2）证明详见解析.（3）

试题分析：（1）由已知可得且可求得，然后根据公式求得.（2）首先求出的表达式，然后利用裂项法求出，最后根据的单调性求证不等式成立.（3）由可得然后利用函数的单调性求解即可.

试题解析：（１）       ４分

(2)，      ６分，

易知，，故   9分

（3），得则易知

   13分

详见解析．

试题分析：从两个方面来证明此题：若数列为等差数列，则其前项和是关于的二次函数，且常数项为,即；若的前项和中，可根据其前项和求出通项公式，从而可以证明其为等差数列．

试题解析：证：若数列为等差数列，则其前项和，是关于的二次函数，且常数项为，而的前项和，所以；

反过来，当数列的前项和中，则，当时，，时， ，因为也符合，所以数列的通项公式为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

综上所述，数列为等差数列的充要条件是．项和公式以及充分必要条件的关系．